曲线积分有曲面积分.ppt

* * * 第三节 格林公式及其应用 一. 格林公式 二.平面上曲线积分与路径无关的条件 三 . 二元函数的全微分求积 x y o A B L 一.对弧长的曲线积分第一类曲线积分 二、对坐标的曲线积分第二类曲线积分 三、两种曲线积分的关系 复习 一. 格林公式 平面单连通与复连通区域的概念: 否则称为复连通区域. 单连通（无洞） 复连通（有洞） 当你沿这个方向行走时, 若平面区域 内任一闭曲线所围区域都属于 则称 为单连通 区域。 平面区域 的边界曲线 的正向规定为: 内靠近你的那一部分区域总在你的左侧. 第三节 格林公式及其应用 定理1 分析: 只须证: 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成, 函数 在 上有一阶连续偏导数 , 则有 格林(Green)公式 其中 是 的取正向的整个边界曲线。 因 超过两个。 所以 证 （1） 的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点不 假定区域 即区域 既是 X--型又是 Y--型。 所以 证毕. 若区域 （2） 的边界曲线与平行于坐标轴的直线的交点多于两个. 解 由格林公式得 例1 计算 其中 是由曲线 及 所围 区域 的正向边界曲线。 画草图, 例2 计算 其中 D 是以 O(0,0), A(1,1), B(0,1) 为 顶点的三角形闭区域. 解 证 由格林公式得 边界. 由格林公式得 解 例3 设 是任意一条取正向的闭曲线, 证明 例4 计算 , 其中 为椭圆 的正向 解 构造成封闭曲线 , 由格林公式知, 例5 计算 其中 是由点 的上半圆周 到点 添加辅助线 解 当 时, （1）若 由格林公式得 例6 计算 其中 为一条无重点分段光滑且不过原 点的连续曲线 ， 的方向为逆时针方向. 设 所围区域为 （2）若 添加辅助线 , 取顺时针方向. , 由格林公式得 设 所围区域为 与 特别地，格林公式中, 则 所以 例7.求椭圆 所围图形的面积。 解 若取 二.平面上曲线积分与路径无关的条件 恒有 成立， 即 若对开区域 内任意两点 以及 内从 的任意两条曲线 点 到点 内与路径无关. 在 则称曲线积分 曲线积分 在 内与路径无关 其中 为 内任意闭曲线. 等价于 定理2 导数, 证 有 即曲线积分与路径无关. 反证法. 假设在点 处 不妨设 存在 内恒有 则 矛盾. 证毕 在单连通区域 设函数 内具有一阶连续偏 在 内恒成立。 若在 内恒有 则对 内任意闭曲线 在以 为圆心, 以 为半径的圆域 在 内与路径无关的充要条件是 则曲线积分 解 在整个平面区域内曲线积分与路径无关, 例8 计算 为过点 其中 三点所决定的圆周上的一段弧 , 为起点, 为终点. 取折线 作为积分路径, 例9 计算 解 所以曲线积分与路径无关。 在整个 面内成立。 取折线 三 . 二元函数的全微分求积 对可微函数 其全微分为 问题: 如何求出这个函数 定理3 则 为某一函数 的全微分的 充要条件是 且 导数， 在单连通区域 内有一阶连续偏 设函数 其中 为 内一定点。 如何判断它是某个函数的全微分? 对 证 必要性 设存在某 u (x, y), 使得 则 从而 * * *