最优控制七动态规划法.ppt

将x(t + ?t)进行泰勒展开，取一次近似，有 (9) (10) (11) 将上式在[x,t]领域展成泰勒级数，考虑到 J*[x+?x, t+?t]既是x的函数，也与t有关，所以 (12) (8) 代入式(8)，得 (13) (12) (8) 考察上式因为J*[x, t]与u无关，故J*[x, t]与 可提到min号外面。经整理可得 式(14)称为连续系统动态规划基本方程或贝尔曼方程。 (14) 贝尔曼方程。它是一个关于J*[x, t]的偏微分 方程。解此方程可求得最优控制使J为极小。它 的边界条件为 (15) (14) 如果令哈密尔顿函数为 式中 则式(14)可写成 (17) (16) 当控制矢量u(t)不受限制时，则有 上两式称为哈密尔顿－雅可比方程。上式说明， 在最优轨线上，最优控制必须使H达全局最小。 实际上这就是极小值原理的另一种形式。 (18) 由贝尔曼方程可推导出协态方程和横截条件。 式(14)可写成 对x求偏导数，得 (20) (19) (14) 由于对t的 全导数，为 (22) (21) 代入式(20)可写成 (20) 令 ，则上式可写成 (23) 这就是所求的协态方程 ，与以前结果 完全一致。 (22) 在t= tf时，在终端处性能泛函为 式中μ——与N同维的乘子矢量。 (24) 对x(tf)求偏导数，得 (25) (26) 即 (24) 将式(24)对tf求偏导数，得 (27) (24) 考虑式(17)、式(20)得 上述结果与极小值原理中推导的完全一致。 上述推导过程实际上等于用动态规划方法间接证 明了极小值原理。 (28) (17) (20) (27) 应当指出，与极小值原理相比，动态规划法需 要解偏微分方程式(14)，它要求J [x, t]具有连续的 偏导数，但在实际工程中，这一点常常不能满足， 因而限制了动态规划法的使用范围。 例1：设 ，求最优控制u*(t)使 解：构造哈密尔顿函数 根据哈密尔顿－雅可比方程，有 考虑控制u不受限制，得 故 边界条件，因Φ[x(tf), tf]=0，故J[x(tf)]=0 如果令 ，则得 这正是应用极小值原理所得的结果，二者 完全一致。 例2：设受控系统状态方程为 初始状态为 性能泛函为 试求在u无限制情况下，使J取极小时的最优控制。 解：构造哈密尔顿函数 由哈密尔顿－雅可比方程 因u无限制，可从 求得 代入上式，并注意到J*与t无关，因而 ， 有 为求解此偏微分方程，设其解为 满足方程，得 各项系数为 可得 解为 最优控制 最优控制可由状态反馈实现，如图7所示。 进一步考察系统的状态轨线。系统的状态方程 为齐次方程。 它的解为 * 第七章 动态规划法 动态规划是贝尔曼在50年代作为多段决策过程 研究出来的，现已在许多技术领域中获得广泛应 用。动态规划是一种分段最优化方法，它既可用来 求解约束条件下的函数极值问题，也可用于求解约 束条件下的泛函极值问题。它与极小值原理一样， 是处理控制矢量被限制在一定闭集内，求解最优控 制问题的有效数学方法之一。 动态最优的核心是最优性原理，它首先将一个 多段决策问题转化为一系列单段决策问题，然后从 最后一段状态开始逆向递推到初始段状态为止的一 套求解最优策略的完整方法。 下面先介绍动态规划的基本概念，然后讨论连 续型动态规划。 一、多段决策问题 动态规划是解决多段决策过程优化问题的一 种强有力的工具。所谓多段决策过程，是指把一 个过程按时间或空间顺序分为若干段，然后给每 一步作出“决策”(或控制)，以使整个过程取得最优 的效果。 如图1所示，对于中间的任意一段，例如第k+1 段作出相应的“决策”(或控制)uk后，才能确定该段输 入状态与输出状态间的关系，即从xk变化到xk+1的状 态转移规律。在选择好每一段的“决策”(或控制) uk 以后，那么整个过程的状态转移规律从x0经xk一直到 xN也就被完全确定。全部“决策”的总体，称为“策 略”。 当然，如果对每一段的决策都是按照使某种性 能指标为最优的原则作出的，那么这就是一个多段