最短路问题与货郎担问题.ppt

货郎担问题 货郎担问题 货郎担问题 用穷举法解货郎担问题算法的复杂度为(n?1)!， 当n较大时，计算量大的惊人！ 货郎担问题 * 集合与图论 第14节 最短路问题与货郎担问题 主要内容： 图的矩阵表示 带权图 最短路问题 货郎担问题 图的矩阵表示 定义1 设无向图G=(V,E), V={v1, v2, …, vn}， |E|=m. n×n的矩阵A=(aij)称为G的相邻矩阵，其中 性质： (4) A的主对角线上的元素全为0. 定理1 设 A为无向图 G 的相邻矩阵，V={v1, v2, …, vn}为顶点集，则 A 的 l 次幂 Al（l ?1）中元素 为G中vi 到vj长度为 l 的通道的条数； 为vi到自身长度为 l 的闭通道数. 图的相邻矩阵 说明：定理1的结论得出的是G中vi 到vj长度为 l 的通 道的条数，而不是G中vi 到vj长度为 l 的路的条数. 例1: 如图所示，求 v1到v3长度为4的通路数， v1到v1长度为4的闭通路数. 解 相邻矩阵A如下： 例 题 例 题 从矩阵A4可以看出： v1到v3长度为4的通路数为4， 具体为： v1v2v4v2v3, v1v2v3v2v3, v1v4v1v2v3, v1v2v1v2v3. v1到v1长度为4的闭通路数为7， 具体为： v1v4v1v4v1, v1v4v2v4v1, v1v4v1v2v1, v1v2v1v2v1， v1v2v4v2v1, v1v2v3v2v1, v1v2v1v4v1. 图的关联矩阵 定义2 设无向图G=(V,E), V={v1, v2, …, vn}， E={e1, e2, …, em}. n×m的矩阵M=(mij)称为G的关联矩 阵，其中 性质： vi与ej关联 否则 例2：如图所示，求其关联矩阵. 解 关联矩阵M如下： 例 题 图的连通矩阵 定义3 设无向图G=(V,E), V={v1, v2, …, vn}. n×n的矩阵P=(pij)称为G的连通矩阵，其中 性质： (1) P的主对角线上的元素全为1； (2) 若G是连通图，则P中元素全为1. vi与vj之间有路 否则 例3: 如图所示，求其连通矩阵. 解 连通矩阵M如下： 例 题 有向图的矩阵表示 1、邻接矩阵 2、关联矩阵 3、可达矩阵 定义4 设G=(V, E)是一个图，f是V到集合S的一 个映射，则称三元组(V, E, f)是一个顶点带权图，仍记 为G=(V, E, f)，?v?V，f(v)称为顶点v的权. 带权图 定义5 设G=(V, E)是一个图，g是边集E到集合 T的一个映射，则称三元组(V, E, g)为边带权图，也仍 记为G=(V, E, g)，?x?E，g(x)称为边x的权. 带权图 最短路问题 设G=(V,E)是一个边带权图，权函数g是E到非负 实数集R的映射. 设H是G的一个子图，则H的权记为 g(H). g(H)是指H的各边的权之和，即 所谓最短路问题，就是求边带权无向图中两个 给定顶点间的路上各边权之和最小的路. 其中E(H)为H的边集. 最短路问题 最短路问题是一个优化问题，属于网络优化和组 合优化的范畴。对这种优化问题的解答一般是一个算 法。最短路问题有很多算法，其中最基本的一个是 Dijkstra算法。 Dijkstra算法 基本思想: 若路 P =u0u1…uk-1uk 是从 u0 到 uk 的最短路，则P? =u0u1…uk-1必是u0 到 uk-1的最短路。基于这一原理，算法由近及远地逐次求出 u0 到其它各点的最短路. Dijkstra算法 1. 初始化：置h(u0)=0；?v?V，若v?u0， 则 置h(v)=?； S={u0}；i=0； 2. 若V \S??，则?v?V \S做 h(v)?min{h(v), h(ui)+g(uiv)}; 4. S?S∪{ui+1}，i?i+1； 5. 转到步骤2 若V \S=?，停止 3. 实 例 求v1到其它各点的最短路径长. ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 0 8/v6 8 8 6 6 8 3 1 3 0 8 8/v6 7 8 6/v4 8 6 8 6 6/v3 8 5 ∞ 6 6 9 3/v3 4 ∞ ∞ 6 9 3 3/v3 3 ∞ ∞ 6 ∞ 3 1/v1 3 2 ∞ ∞ ∞ ∞ 5 1 4 0 1 v8 v7 v6 v5 v4 v3 v2 v1 实