曲线积分重修.ppt

曲线积分与曲面积分 * 曲线积分 III、格林公式及其应用 I、 对弧长的曲线积分(第一类曲线积分) II、 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分) 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1．曲线型物体的质量 设一曲线型细长构件，在xoy面上占有一段曲线弧L,端点为A,B,在AB上任一点的线密度为?(x,y),求这构件的质量。 2．对弧长的曲线积分的定义 I、 对弧长的 曲线积分 2.定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x，y)在L上有界。若对L的任意分割和对局部的任意取点， 乘积的和式 的极限总存在，则 称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 其中f (x，y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。 依上定义，有 3．几点说明 （3）如L是光滑的或分段光滑的简单闭曲线，常记作： （2）定义可推广到空间的曲线Γ上的曲线积分 （1）f (x，y)在L上连续， 4．对弧长的曲线积分的性质 （1）关于被积函数的线性性质 （2）对于路径的可加性 （3）无方向性 其中L=L1+L2 （4）对称性 1) 如L关于y轴对称，L1是L的右半支，则 当L关于x轴对称时有类似的结论。 5. 对弧长的曲线积分的计算方法 1) 定理 设L的参数方程为 : 计算方法：化为对参数的定积分， “一代”：将x=?(t),y=?(t) ,代入被积函数f (x，y)； “三定限”：下限小上限大。 “二换”：将ds换成 “一代二换三定限” 2) 几种变形 ①如L：y=y(x)，a≤x≤b则 ②如L：x=x(y)， c≤y≤d则 ③如 3) 举例 例1. 计算 其中 L 是抛物线 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: 上点 O (0,0) 解： ds=adθ a O x y θ A(0,1,1)，B(1,3,－1) 解： 的参数方程为x=t，y=1+2t，z=1－2t。(0≤t≤1) 例4 填空 L的长度为a 解(1)： 又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以 于是 I = 12a。 即3x2+4y2=12，所以 例5. 设 C 是下列曲线 所围区域的边界, 求 解: 分段积分 II、对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 1．对坐标的曲线积分的定义 定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x，y)、Q(x，y)在L上有界。 总存在，则称此极限为函数P(x，y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 极限 则称此极限为函数Q(x，y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作 其中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。 即 以上两个积分也称为第二类曲线积分。 2．几点说明 （1）可积性 （2）组合型 （3）可推广到空间曲线的情形 3．性质 （2）关于曲线积分路径的可加性 其中L=L1+L2（方向一致） （3）方向性 （1）关于被积函数的线性性质 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 二、对坐标的曲线积分的计算方法 1.设L的参数方程为 当参数t单调地由α变到β时，点M(x，y)从L的起点A沿L运动到终点B。 计算方法：化为对参数的定积分，“一代二定限” “一代”：将x=?(t),y=?(t) 代入被积式。 “二定限”：下限α→起点，上限β→终点，不一定有αβ 2．几种变形 （1）L由y=y(x)给出时，将x视作参数 a对应L的起点，b对应L的终点。 （2）L由x=x(y)给出时，将y视作参数。 （3）对于空间曲线 其中L为抛物线y2=x上从点A(1，－1) 到点B(1，1)的一段弧（如图） 第二种方法：将所给积分化为对y的定积分来计算。 解：第一种方法：将所给积分化为对x的定积分来计算. A(1，－1) B(1，1) x y O 例2 解 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 III、 格林公式及其应用 一、格林公式 1．单连域与复连域 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域。 D的边界曲线L的正向规定如下：当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部分总在它的左边。 单连