机械运动的守恒定律.ppt

3.8 对称性与守恒定律 * * 回顾 当 时，有 力对时间的累积效应 动量定理 分量形式 动量守恒 也就是——力、力矩对时间和空间的累积效应 力的空间累积效应 功 改变能量 牛顿第二定律是瞬时的规律。 力的时间累积效应： 平动 冲量 改变动量 转动 冲量矩 改变角动量 但在有些问题中，如：碰撞（宏观）、散射（微观）我们往往只关心 过程中 力的 效果。 力矩的时间累积效应 定义 （1）质点对定点o 的角动量 方向：垂直于 组成的平面 SI 大小： 量纲： 思路:与处理动量定理 问题相同 也即 J.s 3.7 质点的角动量和角动量守恒 1、质点的角动量 t 时刻，质点具有平动动量 定义 为力对定点o 的力矩 (2) 力对定点的力矩 大小： 方向：垂直于 组成的平面 量纲： 质点以角速度 作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量 大小 的方向符合右手法则. 力矩的时间累积效应 冲量矩----角动量… 力的时间累积效应 冲量----动量---动量定理 2、 质点的角动量定理 学过： 作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角动量随时间的变化率. 力矩的时间累积效应为冲量矩 质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. 注意 角动量与动量是两个不同的物理量， 角动量方向为角速度的方向，动量的方向为速度的方向。 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上),然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持力作用, 支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里 由质点的角动量定理 B 考虑到 得 由题设条件积分上式 质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该参考点 O 的角动量为一恒矢量. 3、质点的角动量守恒定律 由角动量定理 恒矢量 对于不同的参考点，力矩和角动量都可能不同，因此，角动量是否守恒，不仅与质点受力情况有关，而且与参考点的选择有关。 例3.13 图3-28所示，质点m作圆锥摆动，设质点的速率v、圆半径R及锥角θ为已知（容易证明v、R和θ中只有两个是独立参量，为书写方便，视为已知量）。（1）以圆心O为参考点，试求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点角动量；（2）以悬挂点A为参考点，试求张力力矩、重力力矩、合力力矩和质点角动量；（3）对圆心O和悬挂点A，质点角动量是否守恒？ 解 （1）根据（3-44）式，张力FT对圆心O的力矩为 M1=R×FT 根据矢量叉积的定义，M1的方向与图中v方向相反，M1的大小为 M1=RFTsin（ +θ）=RFTcosθ。 重力对圆心O的力矩为 M2=R×mg 由于FT = ，则M1=mgR。 其方向与图中v的方向相同， 其大小 M2=Rmgsin =mgR。 对O点的合力矩为 M0= M1+ M2=0 根据质点角动量定义，质点 m对圆心O的角动量为 L0=R×mv 其方向竖直向上，大小为L0=Rmvsin =Rmv。 （2）张力对悬挂点A的力矩为 M3=r×FT=0 重力对A点的力矩为 M4=r×mg 其方向与v相同， 大小为M4=rmgsinθ=Rmg。 对A点的合力矩为 M= M3+ M4 其方向与v相同，大小为M=Rmg。 质点m对悬点A的角动量为 L=r×mv 其方向如图，大小为LA=r m v sin = 。 （3）对圆心O的合力矩M0=0，因此质点对O点的角动量守恒，即其大小、方向都不变。 对悬点A的合力矩MA≠0，因此质点对A点的角动量不守恒。计算结果表明，运动过程中质点对悬挂点A的角动量大小不变，但方向不断变化。 1）角动量守恒定律的条件 2）动量守恒与角动量守恒 是相互独立的定律 3） 有心力 力始终过某一点 central force 如：行星在速度和有心力所组成的平面内运动