条件概率及重要公式.ppt

* Chapter 1(3) 条件概率及重要公式 教学要求： 1. 了解条件概率的定义; 2. 掌握概率的乘法公式, 全概率公式,贝叶斯公式; 3. 应用以上公式进行概率计算. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点， 那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形 有所不同。 一般地，在已知另一事件B发生的前提下，事件 发生的可能性大小不一定再是 P(A)。 条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一，实际中我们常希望知道事件A的发生概率，尽管我们不可能完全知道试验结果 ，但往往会掌握一些与事件 A相关信息，这这对我们的判断有一定的影响. 一、条件概率及性质 1. 实例 某种产品，若尺寸与光洁度都合格，就认为是合格的. 现有该产品100件，其中合格品90件，95件尺寸合格， 92件光洁度合格，若从其中任取一件，测得其光洁度 合格，求此件产品为合格品的概率. Solution. 设A={尺寸合格}， B={光洁度合格} 则AB={合格品}, 2. 条件概率的定义 在事件B已发生的条件下, 事件A发生的概率, 称为在事 件B发生的条件下, 事件A发生的条件概率. 记为P(A|B). 注意: 3. 条件概率的性质： ex1.根据历史气象资料统计，某地四月份吹东风的概 率为 既吹东风又下雨的概率为 试问吹东风与下雨之间有否密切关系？ Solution. 在“吹东风”（A）发生的条件下“下雨”（B）发生 的概率大小能够说明这两者之间的关系是否密切. 这个概率相当大，所以说在某地“吹东风”与“下雨”是 有密切关系的. 二、乘法公式(定理1) Proof. 故可由条件概率的定义得 乘法公式给出了n个事件 同时发生的概率计算的一般方法. ex2.100件产品中有10件次品，随机取三次，每次取一 件（不放回），求第三次才取到合格品的概率. Solution. 设Ai＝{第i次取出的产品是次品} i=1,2 A3＝{第三次取出的产品是合格品} 现在要求的是 同时发生的概率 ＝０.0084. 三、全概率公式 定义(完备事件组): 定理2: Proof. 注意: (1) 此公式为全概率公式. (2) 定理中隐含着当Bi中其中之一发生时，事件A才 能发生. (3) 直观解释：对一个试验，某一结果发生的可能性 有多种原因，每一原因对这结果的发生作出一定 的“贡献”.此时用全概率公式. ex3.设第一个盒子中有2个白球和1个黑球， 第二个盒子中有3个白球和1个黑球， 第三个盒子中有2个白球和2个黑球， 此三个盒子外形相同, 某人任取一盒, 从中任取一球, 试求取得白球的概率. Solution. 设A表示“取得白球” Bi表示“从第i个盒子中取球”i=1,2,3 由全概率公式得 四、贝叶斯公式 定理3: Proof. 注意: (1) 此公式为贝叶斯公式. (2) 结果A是由原因B1，B2，…，Bn 引起的， 已知A已发生，求原因Bi导致A发生的概率. (3) 用于确定犯人，查找引起地震的原因等. ex4．某库内有同型产品1000件, 其中500件是甲厂生产 的, 300件是乙厂生产的, 200件是丙厂生产的, 已知甲厂 产品的次品率为１％, 乙厂产品的次品率为２％, 丙厂 产品的次品率为４％, 今从库内任取一件产品. (1)求“取得次品”的概率； (2)若已知取得的是次品, 求取得的产品属于甲厂的产品 的概率.