极点极线,配极原则.ppt

例1 求点(1,-1,0)关于二阶曲线 的极线? 例2 求直线 关于 的极点. 探索3一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点与对边何关系？ 结论：一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点 作业布置 作业册P115：3、4、5、6. 课题拓展与应用： ** 利用配极原则设计初等几何命题； 文献推介 白景华，配方法与配极变换法的联系，开封大学学报，1998，2； 冯天祥，配极原则及其应用，重庆三峡学院学报， 2002，4.. 王永兴，二次曲线极与极线理论的两个结果，渭南师专学报，1999，5. 问题1:如何判定二点成共轭? 探究1:两点关于某曲线成共轭,有何结论? 探索2 若p的极线过Q点，则Q点极线与P点有何关系？ 初等应用探索 三条高交于垂心； 三角形的外心、重心、垂心三点共线； 三角形两边中点平行于第三边； 三角形的两外角平分线和另一角的内角平分线交于一点； * * 时间：10月12日 授课老师：刘小辉 Tel:6188199 E-mail:xhliu92@ 5.3极点、极线，配极原则 教案再现:liuxh92@126.com 数学科学对于经济竞争是必不可少的，数学是一种关键性的、普遍的、可实行的技术。 ——引自：数学科学.技术与经济竞争力 § 5.3 极点、极线，配极原则 一、引入 在二次曲线理论中十分重要, 二次曲线的大部分重要性质均与配极有关. 只讨论二阶曲线, 总假定：非退化. 设 定义1 两点P, Q关于Γ共轭. (如图) 定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 证明 设P(pi), Q(qi). 则PQ与Γ: S=0的交点M(pi+λqi)满足 设其两根为λ1, λ2. 则交点为Mj( pi+λjqi), (j=1,2). 于是(PQ,M1M2)=–1 ? λ1/λ2=–1? λ1+λ2=0? 将qi改为流动坐标xi, 得P关于Γ的共轭点的轨迹为直线Sp=0. § 5.3 极点、极线，配极原则 二、极点与极线 定理1 点P关于Γ的共轭点的轨迹为一条直线Sp=0. 推论1 两点P, Q关于Γ共轭?Spq=0. 即 注2. P在Γ上, 则Spp=0, 由推论1, Γ上的点关于Γ自共轭. 注1. 验证两点P, Q关于Γ共轭, 只要验证上式. 2. 极点与极线 定义2 对于点P, 若 则称P关于Γ的 共轭点轨迹p 切线p 为P关于Γ的极线, 方程为Sp=0. 反之, 称P为直线p关于Γ的极点. 注. 由定义2及推论1, 有 定义2: 相互在对方极线上的两点称为关于Γ的共轭点. 1. 问题提出 § 5.3 极点、极线，配极原则 一、极点与极线 推论2 平面上任一点P关于Γ的极线存在唯一, 方程为Sp=0. 反之, 平面上任一直线p关于Γ的极点存在唯一. 证明 只要证后半. 设直线u: u1x1+u2x2+u3x3=0, 求u关于Γ的极点.设P(pi)为其一个极点, 由于P(pi)的极线唯一存在为Sp=0, 从而u与Sp=0为同一直线, 由此可以推知 因为|aij|≠0, 故(4.17)对于(p1,p2,p3)有唯一解, 即u的极点P唯一存在. (*)表示直线u与它的极点P之间的关系, 称为极点方程组. 3. 主要结论 § 5.3 极点、极线，配极原则 二、极点与极线 4. 极点与极线的计算 (1). 已知P(pi), 求极线, 直接求Sp=0. (2). 已知u[ui], 求极点, 将[ui]代入(*), 解出(pi). (注：在实际计算时, 可取ρ=1, 见教材) 注：(*)是一个非奇异线性变换, 是由Γ: S=0通过关于它的极点极线关系规定的同底点场与线场之间的一个双射. 定义3 相互通过对方极点的直线称为关于Γ的共轭直线. 注. 利用Maclaurin定理及对偶原则, 有: 两直线p[pi], q[qi]关于Γ: S=0共轭?Tpq=0? 根据推论2, 可以对偶地给出下列定义 § 5.3 极点、极线，配极原则 二、极点与极线 对于 点P(pi)关于Γ的极线(P关于Γ的共轭点的轨迹)方程：Sp=0. 点P(pi), Q(qi)关于Γ共轭? 直线u[ui]关于Γ的极点：下列极点方程组的解 (3,-1,-1