柯西定理.ppt

数学物理方法 陈尚达 材料与光电物理学院 第二章 复变函数的积分 复变函数的积分 柯西定理 不定积分 柯西公式 2.2 柯西定理 问题：在什么样的条件下复变函数的积分只和起点和终点有关，而和积分路径无关呢？ （一）单通区域情形 单通区域柯西定理：如果函数 在单连通区域 内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域 解析），那么函数 沿边界L或区域内任意闭曲线的积分为零，即 （1） B G 证明： 前面已经给出，积分可由两个实函数积分给出 由于函数解析，因而四个偏导数存在且连续，对上式实部和虚部分别应用格林公式 将回路积分化为曲面积分，有 由柯西－黎曼条件有 （二）复连通域情形 函数在某区域上并非处处解析，存在不可导（甚至不连续或者根本没定义）的点，这样的点叫奇点。为了把奇点排除在区域外，需要做适当的闭合曲线将这些奇点分隔开，或者形象的说把这些奇点挖掉形成某种带“孔”的区域，即复通区域。 （2） 区域境界线正方向：当观察者沿这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。 复通区域的柯西定理：如果 是闭复通区域上的单值解析函数，则 证明略。 证明思路： 1、作割线连接外境界线和内境界线，复连通区域单连通化。 2、运用单连通柯西定理。 总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为： (i)在闭单连通区域中的解析函数，沿边界线或区域内任一闭合曲线的积分为零； (ii)在闭复连通区域中的解析函数，沿所有边界线的正方向（即外边界取逆时针方向，内边界取顺时针方向）的积分为零； (iii) 在闭复连通区域中的解析函数，按逆时针方向沿外边界的积分等于按逆时针方向沿所有内边界的积分之和． 例2.2.1 计算积分： ，其中 为整数， 路径为包围 的任意闭合路径。 解： 当 时，函数为解析函数，由柯西定理有： 当 时， 为函数的奇点，以a为圆心，作一圆，则由复通区域的柯西定理有 从而可以比较方便求出结果。 例2.2.2 计算 ，其中C为圆周 ，且取正向． 解： 要注意 在 内只有一个奇点 ，将 分成为 则有 例2.2.3 计算积分： ， 积分 路径为 包含 两点的任意闭合路径。 解：函数有两个奇点 ，分别以－1，1为圆点作小圆，则有 从而可以求出结果，下略。 例2.2.4 计算积分 因而积分与路径无关，可用分部积分法得 【解】 由于 在复平面内处处解析， 2.3 不定积分 根据柯西定理，函数 在单通区域B上解析，则沿B上任意路径的积分 的值只跟起点和终点有关。因而当起点 固定时，这个不定积分就定义了一个单值函数，记作 （1） 可以证明， 在B上是解析的，且 ，即 是 的一个原函数。 证明略。 还可以证明 （2） 上式称为复积分的牛顿－莱布尼兹公式。 例2.3.1 计算积分 （n为整数）。 解：若回路不包围点 ，则函数是解析的，故积分为0。 下面讨论包围 的情况。 如果 函数是解析的，积分为0。 如果 函数有一个奇点 。可以把积分路径变成以点 为圆心，半径为R的圆周，在此圆周上 如果 则 如果 则 如果 ， 的原函数是单值函数 绕 一周，原函数的改变值为零。 下面我们从原函数的角度来看。 如果 ， 的原函数是多值函数 绕 逆时钟一周，原函数的改变值为 。 总结起来， 例 2.3.3 计算 解： 例 2.3.4 计算 解： 在整个复平面上解析，且 故 例2.3.5计算 解： 数学物理方法 * *