格林Green公式曲线积分与路径无关的条件.ppt

一、区域连通性的分类 二、格林公式 三、简单应用 格林公式的应用 练习2 四、曲线积分与路径无关的定义 于是，在 内 应用格林公式，有 与路径无关. L 与路径无关 解 因此，积分与路径无关。 则 P，Q 在全平面上有 连续的一阶偏导数，且 全平面是单连通域。 取一简单路径：L1 + L2. 因此，积分与路径无关。 全平面是单连通域。 解 因此，积分与路径无关。 则 P，Q 在全平面上有连续的 一阶偏导数，且 全平面是单连通域。 * * * §3 格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条件 一、区域连通性的分类 二、格林公式 三、简单应用 四、曲线积分与路径无关的定义 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 定理1 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 证明(1) y x o a b D c d A B C E 同理可证 y x o d D c C E 证明(2) D 两式相加得 G D F C E A B 证明(3) 由(2)知 x y o L 1. 简化曲线积分 A B ? 2. 简化二重积分 x y o 解 x y o L y x o x y o (注意格林公式的条件) 3. 计算平面面积 解 其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。 1 1 -1 -1 L D y x O （格林公式） 从 证明了： 练习1 计算积分 解 ① ② ③ ④ 求星形线 所界图形的面积。 解 y x O D L 1 1 -1 -1 重要意义： 1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 4.它的应用范围可以突破右手系的限制，使它的应用 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式 更加广泛，而这只需要改变边界的正向定义即可。 如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有 G y x o B A = = =0 所以 = = =