柯西积分定理及公式.ppt

* §3.2 柯西积分定理 一、柯西基本定理 二、闭路变形原理 三、复合闭路定理 四、路径无关性 五、原函数 证明 Green公式 C - R方程 D 一、柯西基本定理 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析， G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 上述定理又称为柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理。 则有 G G P60 定理 3.2 定理 设单连域 D 的边界为 C，函数 f (z) 在 D 内解析， 则有 C D 在 上连续， D 一、柯西基本定理 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析， G 为 D 内的任意一条简单闭曲线， 则有 G G P60 [注] 二、闭路变形原理 将柯西积分定理推广到二连域 定理 设二连域 D 的边界为 (如图)， 函数 在 D 内解析，在 C 上连续， 或 D a b 证明 如图，作线段 a b，则二连域 D 变为单连域， 由 或 则 从而有 P61 定理 3.4 D 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在 区域内作连续变形而改变它的值， 称此为闭路变形原理。 二、闭路变形原理 闭路变形原理 如图，设 在 D 内解析， 在边界 上连续， G 为 D 内的一条“闭曲线”， 则 P62 D r C G 解 如图以 为圆心 r 为半径作圆， 则函数 在 因此有 当 时， 当 时。 上解析， 重要 其中， 的一条闭曲线。 计算 例 为包含 为整数。 三、复合闭路定理 将柯西积分定理推广到多连域 函数 在 D 内解析， 或 设多连域 D 的边界为 (如图)， 定理 D C1 C2 C0 C3 Cn … 在 C 上连续， 则 证明 (略) P62 推论 令 解 则 奇点为 (1) 当 C 为 时， C (1) (2) 其中 C 为： 例 计算 C 3 2 1 0 P62 例3.7 修改 令 解 C1 C2 则 奇点为 (2) 当 C 为 时， 令 C1： C2： 则 C (1) (2) 其中 C 为： 例 计算 C 3 2 1 0 的简单曲线， 四、路径无关性 定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析， C1, C2 为 D 内的任意两条从 到 证明 由 可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关， 则有 P60 定理 3.3 可记为 因此， 计算 例 其中 C 为如图所示的一个半圆。 x y C i 2 G 解 设 G 如图所示， 处处解析， 问 是否可以直接计算？ 因此有 即 由于 在复平面上 P61 例3.6 五、原函数 设在单连域 D 内，函数 恒满足条件 定义 则 称为 在 D 内的一个原函数。 1. 基本概念及性质 函数 的任何两个原函数相差一个常数。 性质 设 和 是 的两个原函数，则 证明 其中，c 为任意常数。 函数 的原函数 称为 的不定积分， 定义 记作 P64 定义 3.2 补 D 五、原函数 2. 由变上限积分构成的原函数 定理 若 在单连域 D 内处处解析， 则 在 D 内解析，且 令 P63 定理 3.5 证明 (略) 3. Newton-Leibniz公式 定理 若 在单连域 D 内处处解析， 为 的原函数， P64 定理 3.6 五、原函数 则 其中 由于 也是 的一个原函数， 证明 有 例 求 解 例 求 解 例 求 解 解 P65 例3.9 求 例 §3.3 柯西积分公式 一、柯西积分公式 二、平均值公式 三、最大模原理 D C 一、柯西积分公式 G d 定理 如果函数