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返回 第八章 曲线积分与曲面积分 微积分 第四节 格林(Green)公式 二、格林(Green)公式 一、单(复)连通区域及其正向边界 五、小结 作业 三、平面曲线积分与路径无关的条件 四、曲线积分基本定理 一、单(复)连通区域及其正向边界 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D，则称D为平面单连通区域；否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 规定： 例如： 区域 D 对于xoy面上的闭区域D边界曲线 的正向：当观察者沿着边界行走时，区域 D 总在他的左侧，并记作 ；与该方向相反的称为负方向，记作 . 是逆时针方向 是顺时针方向 二、格林(Green)公式 定理1： 公式(1)叫做格林(Green)公式. y x O a b D c d C E A B y x O a b D A B y x O D c d C E 注意： D D A B (2)Green公式可以看成是N -L公式在二重积分下的推广，它将平面区域 D 上的二重积分与D的边界曲线 D+的第二类曲线联系起来了. C(-1,0) A(2,0) B(0,1) O x y G y x O B A 如果在平面区域G内有 三、平面曲线积分与路径无关的条件 定理2： 两条件缺一不可. 有关定理2的说明： 注意： 全微分方程的解法： 四、曲线积分基本定理 定理3： 注意： 五、小结 1、连通区域的概念； 2、二重积分与曲线积分的关系 3、格林公式的应用. —— 格林公式 1) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 2) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 4) 利用曲线积分基本定理算曲线积分: 若区域K如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。 思考题： 思考题解答： L由两部分组成 外边界： 内边界： 备用题 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 2. 设 提示: 3. 设 C 为沿 从点 依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 = 到点 * 例6练习 返回 第八章 曲线积分与曲面积分 微积分 * 例6练习