格林公式及其应用).ppt

第三节 格林公式及其应用(1) 一、格林(Green)公式 二、简单应用 三、小结 区域连通性的分类: 一、 格林公式 * * 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 复连通区域 单连通区域 D D 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边. 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 3)若D为复连通区域，这时可用光滑曲线将D分成若干个单连通区域从而变成(2)的情形. 见P203—图11--11 G D F C E A B 由(2)知 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 例1. 圆 所围面积 二、简单应用: 类例见P204—例1 1.计算平面面积: 2. 简化曲线积分: x y o L A B ? 例4. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 由格林公式 , 有 3. 简化二重积分: 解法一 : 方向是顺时针方向。 例5.计算 其中L是圆周 0 y x 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 解法三：利用格林公式计算 例6. 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 lˉ 所围的区域为 林公式 , 得 * * * *