格林公式·曲线积分与线路的无关性.ppt

* §3 格林公式·曲线积分与线路的无关性 一 格林公式 主题：平面区域D上的二重积分与D的边界L上的 第二型曲线积分的关系 1. 单连通区域, 复连通区域, 区域边界的方向 (单连通区域) (复连通区域) 区域边界的方向: 当人沿边界行走时, 区域D总在其左边, 该方向为边界的正向, 相反为边界的负向. 2. 格林公式 定理22.3 若函数P(x,y), Q(x,y) 平面有界闭区域D上连续, 且有连续的一阶偏导数, 则 其中L为D的边界曲线, 并取正向. (1) 公式(1)可表示为: (2) 若L为复连通区域,则L不止是一条曲线. 2. 格林公式 其中L为D的边界曲线, 并取正向. (1) 证: 只要证 (i) 设D为x—型区域 同理可证: (ii) 若D由一条按段光滑的闭曲线围成 如图所示, 将D分为D1, D2, D3 由(i)易得结论. (iii) 对复连通区域可作类似讨论. 定理22.3 若函数P(x,y), Q(x,y) 平面有界闭区域D上连续, 且有 连续的一阶偏导数, 则 注: 两个条件: P(x,y), Q(x,y) 及它们的偏导数都在D连续; D为有界闭区域; (ii) 表明曲线积分与二重积分之间的关系. (iii) 可利用二重积分计算曲线积分, 可利用曲线积分计算二重积分 3. 例 例1 计算 其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分. A B o D 解: P(x,y)=0, Q(x,y)=x 都在以半径为r的四分之一圆域D连续. 在D上用格林公式, 得 其中L的封闭曲线: AOBA 所以 例2 计算 其中L为任一不包含原点的闭区域的边界线. D L 解: 因为 显然, P(x,y), Q(x,y) 及其偏导数都在D连续, 由格林公式, 得 例3 计算 其中L为圆心在原点半径为r 的圆周(取正向). 解: L的参数方程为 注意r 的任意性. 例4 计算 其中L为以原点内点的有界闭区域的边界 (取正向). L 解: 任作圆心在原点, 含于L内的圆周L1(设其半径为r). L1 设L与L1围成的区域为D, 则由例2, 沿D的 边界的正向的第二型曲线积分为0, 即 其中L取逆时针方向, L1取顺时针方向. (根据例3) 4. 区域面积的曲线积分形式 若P(x,y)= - y, Q(x,y)=x, 则有 故D的面积为: 例5 求由星形线 所围成的面积. 解: 由上所述, 所求的面积为 应用格林公式计算第二型曲线积分: 其中L为圆周 的正向. 其中L是以A(1,1),B(3,2),C(2,5) 为顶点的三角形,方向取正向. 其中m为常数, AB为由(a,0)到(0,0)经过 上半部的路线. 二 曲线积分与路线的无关性 例 计算 其中： (i) 沿抛物线 y=2x2, 从O到B的一段； (ii) 沿直线 y=2x 从O到B的一段； (iii) 沿封闭线路OABO。 解: (i) (ii) (ii) 定理22.4 设D为平面单连通闭区域. 若函数P(x,y), Q(x,y)在D内连续, 且有 一阶连续偏导 数, 则以下四个条件等价: (i) 沿D中任一按段光滑的闭曲线L, 有 (ii) 沿D中任一按段光滑的曲线L, 与线路无关, 只与L的起点终点有关; (iii) 是D内某一函数的 的全微分, 即存在 D内的函数 (iv) 在D的每一点处, 有 证: (i) (ii) (i) 沿D中任一按段光滑的闭曲线L, 有 (ii) 沿D中任一按段光滑的曲线L, 与线路无关, 只与L的起点终点有关; A B R S 设ARB与ASB为联结点A, B的任两条光滑曲线. 由(i) 由ARB与ASB的任性, 故(ii)得证. 证: (ii) (iii) (ii) 沿D中任一按段光滑的曲线L, 与线路无关, 只与L的起点终点有关; (iii) 是D内某一函数的 的全微分, 即存在 D内的函数 由(ii)知,曲线积分 与积分路线无关, 故当B(x,y)在D内变动时, 其积分 值为B(x,y)的函数. 记 以下证: 记 以下证: 由积分中值定理, 得 所以 同理可证: (iii) (iv) (iii) 是D内某一函数的 的全微分, 即存在 D内的函数 (iv) 在D的每一点处, 有 由(iii)有 又P(x,y), Q(x,y) 有连续的一阶偏导数，故 *