格林公式新.ppt

曲线积分与曲面积分 一、格林公式 二、曲线积分与路径无关的条件 四、小结 第三节、格林公式及应用 第三节、格林公式及应用 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 设D为平面区域, 复连通区域 单连通区域 D D 的部分都属于D, 称为复连通区域. 1、 区域连通性分类 如果D内任一闭曲线所围成 则称D为平面单连通区域, 否则 平面区域D的边界曲线L的正向: 边界L的这一方向行走时, D D 由 与 组成 逆时针方向 逆时针方向 顺时针方向 2. 格林公式 当观察者沿D的 平面区域D总在他的左边。 定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成， 其中L是D的取正向的边界曲线。 公式(1)称为格林(Green)公式。 在D上具有一阶连续偏导数， 及 函数 连续可导,则 格林公式的实质: 积分之间的联系. 便于记忆形式: 沟通了沿闭曲线的积分与二重 x y O L 1） 简化曲线积分 A B ? 解 引入辅助曲线L, 例1 计算 其中曲 线 AB 是半径为 r 的圆在 第一象限部分。 3、简单应用 由于 2）. 简化二重积分 x y O 例2 计算 ,其中D是以 为顶点的三角形闭区域。 解 则 解 例3 计算 , 其中L为一条无重点分段 光滑且不经过原点的连续闭曲线， L的方向为逆时 针方向。 记L所围成的闭区域为D， 令 则当 时, . 有 x y O L y x O 由格林公式知 (1) 当 时, 当 时, (2) 记 由 和 所围成, 由格林公式,得 逆时针方向), 所以 x y O (注意格林公式的条件) 3. 计算平面面积 格林公式: 取 得 闭区域 的面积 取 得 取 得 计算平面面积 解 例4 计算抛物线 与x轴所 围成的面积。 O 为直线 . 曲线 由函数 表示, G y x o B A 如果在区域G内有 与路径有关. 则称曲线积分 在G内与路径无关， 否则 定理1 在 内具有一阶连续偏导数, 闭曲线的曲线积分为零） 在 内恒成立. 设区域 是一个单连通域, 在 内与路径无关 函数 则曲线积分 内任意 （或沿 的充要条件是 两条件缺一不可。 定理的说明： (1) 区域 是一个单连通域. 偏导数. (2) 函数 在 内具有一阶连续 解 例5 由点 到点 的曲线弧 其中L为 原积分与路径无关。 计算 故原式 解 例6 其中 具有连续的导数, 计算 因积分与路径无关 即 由 知 故 与路径无关, 设曲线积分 且 1.连通区域的概念; 2.二重积分与曲线积分的关系 3. 格林公式的应用. ——格林公式; * *