次点列上的射影变换.ppt

* § 4.5 二次点列上的射影变换 一、二次点列上的射影对应 S(P) ?(P) S(P) ?(P) S(P) S(P) ?(P) ? (P) 二、二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 与一维射影对应的桥梁 交比、调和比、Steiner作图法、透视轴…… 射影轴、不变元素、分类、与Pascal定理的关系…… 对合轴、对合中心、几何条件、与配极变换的关系…… § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例2. (P.135, Ex. 4) 证明. 二阶曲线上对合的几何条件与点列上对合的形式完全相同, 照抄P.77, §2.5, 例2.14. 例3. (P.135, Ex. 5) 证明. 如图, 过P0另作?的弦P1Q1, 设AP1, AQ1分别交?于P1, Q1. 由定理4.24, 在?上(P, P1, …)?(Q, Q1, …)为对合(以P0为对合中心). 于是, 在A为束心的线束中, A(P, P1, …)?A(Q, Q1, …)为对合. 从而, 在?上, 对应(P, P1, …)?(Q, Q1, …)为对合. 由上述对合可知, 其对应点的连线PQ, P1Q1必定共点于对合中心. § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例4(P.135, Ex. 7) 如图, 设A,B为不在非退化二阶曲线?上的两个定点, PP, PP分别为通过A,B的两条动弦. 求证： ?(P) ? ?(P)与?(P) ? ?(P)都是?上的对合. 问?(P) ? ?(P)是否为?上的对合？ 证明 以定点A为对合中心, ?(P) ? ?(P)为对合. 以定点B为对合中心, ?(P) ? ?(P)为对合. ?(P) ? ?(P)不一定成为对合. 除非PP能够经过定点. § 4.5 二次点列上的射影变换 三、二次点列上的对合 例5(P.135, Ex. 8) 如图, 设PP为过不在非退化二阶曲线?上一定点的动弦, 又A,B为?上的两个定点, 且Q=AP?BP, R=BP?AP. 求证：Q,R在另一条二阶曲线上. 证明 由PP过定点得?(P) ? ?(P)为对合. 于是A(P,P…) ?B(P,P…)为射影线束. 而Q, R,…为此二射影线束的对应直线的交点, 所以在另外一条二阶曲线上. 注：由此想到： ?上两定点与其上同一个动点连线, 得到两个射影线束. ?上两定点分别与其上射影变换的对应点连线, 得到两个射影线束. § 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 定义4.21 对于任意的二阶曲线?, 若?交无穷远直线于两个 相异的实点 重合的实点 共轭的虚点 , 则称?为 双曲型的 抛物型的. 椭圆型的 若?非退化, 则称为 双曲线 抛物线. 椭圆 双曲线 抛物线 椭圆 § 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 设 其中xi为齐次仿射坐标, 则x1, x2地位平等而x3特殊. ?与l∞的交点为 解出x1:x2即得交点(x1,x2,0). 于是,对于x1:x2, 有两个 相异的实根 重合的实根 共轭的虚根 ?为 双曲型的 抛物型的. 椭圆型的 定理4.25 对于二阶曲线? : S=0, A33的符号为仿射不变的. 由于l∞： x3=0为仿射不变的, 因此二阶曲线与l∞的相交情况也是仿射不变的, 所以有下列定理 § 4.6 二次曲线的仿射理论 一、二阶曲线与无穷远直线的关系 二、二阶曲线的中心 本节以下总设所论二阶曲线非退化. 定义4.22 l?关于?的极点C称为?的中心. 1. 定义 2. 性质 (1). 通常点C为?的中心?C为?的对称中心(即C为过C的弦的中点). 证明 设p为过C的直线, 交?于A,B, 交l?于P?. 据中心的定义, C为中心?(AB, CP?)= –1?C为AB的中点. 从而 仿射定义 解几定义 (AB, CP?)= –1 (2). 双曲线, 椭圆的中心为有穷远点；抛物线的中心为无穷远点. 双曲线椭圆 有心二阶曲线 无心二阶曲线 抛物线 § 4.6 二次曲线的仿射理论 二、二阶曲线的中心 1. 定义 2. 性质 3. 中心坐标 因为中心C为l?的极点, 设C(c1,c2,c3). 则中心方程组为 于是, 中心坐标为： 有心二阶曲线：(A31, A32, A33). 无心二阶曲线：(A31, A32, 0). 即(a12, –a11