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欧拉图 相关应用 例 一个邮递员投递信件要走的街道如下左图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的行程最短？全程多少千米？ 哈密尔顿图 四、应 用：带权图与货郎担问题  定义15.3 给定图G = V, E(G为无向图或有向图), 设W: E→R(R为实数集), 对?e = (vi, vj)(vi, vj)?E(G), 设W(e) = wij, 称实数wij为边e上的权(Weight) 在G上, 将权wij标注在边e上, 称G为带权图 通常将带权图G记作V, E, W 称?e?E(G)W(e)为G的权, 记作W(G) 货郎担问题 设有n个城市, 城市之间有道路, 道路的长度均大于或等于0, 可能是∞(城市之间无交通线)。 一个旅行商从某个城市出发, 要经过每个城市一次且仅一次, 最后回到出发的城市, 问如何才能使他所走的路线最短？这就是著名的旅行商问题或货郎担问题。 这个问题可化归为图论问题。 设G = V, E, W为一个n阶完全带权图Kn, 各边的权非负, 且有些边的权可能为∞。求G中一条最短的哈密顿回路, 这就是货郎担问题的数学模型。 * 定义 通过图G的每条边一次且仅一次的回路称为欧拉回路。存在欧拉回路的图，称为欧拉图。通过图G的每条边一次且仅一次的开路称为欧拉路，对应的有半欧拉图。 例1 下图所给出的四个图，哪些是欧拉图、半欧拉图？ Y N Y N 怎么样判断一个图是欧拉图或半欧拉图？ 定理15.1　 无向图G为欧拉图的充要条件G是连通图且没有奇度顶点。 定理15.2 无向图G是半欧拉图的充要条件G是连通的且恰有两个奇度的顶点。 或半欧拉图有且仅有两个奇点，一个为欧拉路的起点一个为欧拉路的终点。 　 例2　　 下图中的各图是否可以一笔画出？ N Y Y N Y 一笔画问题？P296定理15.1 定理15.3　 有向图D为欧拉图的充要条件D是强连通图且每个顶点的入度等于出度。 定理15.4 有向图D是半欧拉图的充要条件D是单向连通的且恰有两个奇度的顶点，其中一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点出度比入度大1，而其余顶点的入度等于出度。 定理15.5 G是非平凡的欧拉图的充要条件G是连通的且是若干个边不重的圈的并。 Y 哥尼斯堡七桥问题??? 18世纪哥尼斯堡（后来的加里宁格勒）位于立陶宛的普雷格尔上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。 瑞士数学家欧拉（Euler）解决 抽象出的图应该是？ 抽象出的图应该是？ 我们当然不能试走！ 结论不言而喻！ 应用1、右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由。如果能，应从哪开始走？ 右图中只有A，D两个奇点，是一笔画，所以答案是肯定的，应该从A或D展室开始走。 邮局 2 1 2 1 1 1 怎么样使非欧拉图变为欧拉图？ 除去奇点！ 添加边或删除边。 怎么样除去奇点？ 该题应该采用的办法？ 重复某些边（添加边）。 解：图中共有8个奇点，不可能不重复地走遍所有的路。必须在8个奇点间添加4条线，才能消除所有奇点，从而成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画。当然要在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左上图中虚线所示，共添加4条连线，这4条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程34千米。走法参考右上图(走法不唯一)。 2 1 2 1 1 1 2、右图中每个小正方形的边长都是100米。小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？ 该题应该采用的办法？ 删除某些边，除去奇点对，将A、B变为基点！ 解：这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上还是用欧拉图的判定定理来求解更合理、快捷。首先，图中有8个奇点，在8个奇点之间至少要去掉4条线段，才能使这8个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B点，A，B两点必须是奇点，现在A，B都是偶点，必须在与A，B连接的线段中各去掉1条线段，使A，B成为奇点。所以至少要去掉6条线段，也就是最多能走1800米，走法如下图。 作业1：一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米？ 作业2 邮递员要从邮局出发，走遍左下图(单位：千米)中所有街道，最后回到邮局，怎样走路程最短？全程多少千米？ 问题也是由一则游戏引入的：1859年，爱尔兰数