正规变换与埃尔米特次型.ppt

* 第十三讲 正规变换与埃尔米特二次型 定义1 设 ? 是酉空间 V 的一个线性变换, 如果对任意向量 ?? ??V, 都有 (?(?), ?) = (?, ?(?)), 则称 ? 是Hermite变换. 问题 设 ? 是酉空间 V 中的线性变换, 是否存在 ??L(V), 使得 ??, ??V, 有 (??, ?) = (?, ??). 定理1 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的线性变换, 则存在唯一的 ??L(V), 使得 ??, ??V, 有 (??, ?) = (?, ??) 证明 存在性: 设 ?1, ?2,?, ?n 是 V 中一组标准正交基, ? 在 ?1, ?2,?, ?n 下的矩阵为 A, 由上册P.198定理6.4, 存在唯一 的一个 V 中的线性变换 ?, ? 在 ?1, ?2,?, ?n 下的矩阵为 AH, 设 ? ? ??1, ?2,?, ?n?X, ? ? ??1, ?2,?, ?n?Y, A = (aij)n?n, 则 ?? = (?1, ?2,?, ?n)AX, ?? = (??, ?2,?,?n)AHY, 且 唯一性: 设 ? 和 ? 是 n 维酉空间 V 中的两个线性变换, 且 ??, ??V, 有 (?, ??) = (?, ??), 则 (?, (?-?)?) = 0, 取 ? = (?-?)?, 则 (?, ?) = 0, 故 ? = 0, 所以 ???V, 有 (?-?)? = 0, 故 ? = ?. 定义2 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的线性变换, 由定理1存 在唯一的 V 中的线性变换(记为) ?*, 使得 ??, ??V, 有 (??, ?) = (?, ?*?), 这个线性变换称为 ? 的共轭变换. 设 ? 是酉空间 V 中的Hermite变换, 则 ?* = ?. 推论1 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的Hermite变换, ?1, ?2,?, ?n 是 V 中一组标准正交基, ? 在 ?1, ?2,?, ?n 下的矩阵为 A, 则 AH = A, A 称为Hermite矩阵. 推论2 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的酉变换, ?1, ?2,?, ?n 是 V 中一组标准正交基, 则由P.71定理10.9, ? 在 ?1, ?2,?, ?n 下的矩阵 A 为酉矩阵, 即 AH = A-1, 故 ?* = ?-1. 定义3 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的线性变换, 若 ??* = ?*?, 则称 ? 为正规变换. 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的正规变换, ?1, ?2,?, ?n 是 V 中 一组标准正交基, ? 在 ?1, ?2,?, ?n 下的矩阵为 A, 则 AAH = AHA, A 称为正规矩阵. 酉变换和Hermite变换都是正规变换, 酉矩阵和Hermite 矩阵都是正规矩阵. 定理2 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的正规变换, 若 ?? = ??, 则 证明 因为 ?? = ??, 所以 (?-??)? = 0, 要证 (?*-??)? = 0, 推论1 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的Hermite变换, 则 ? 的特 征值全是实数. 推论2 设 ? 是 n 维酉空间 V 中的酉变换, 则 ? 的特征值 的绝对值均为1. 定理3 若 n 阶方阵 A 是正规矩阵, 则存在酉矩阵 U, 使得 U?1AU = UHAU 是对角阵. 证明 对 n 归纳. 当 n = 1 时, 显然. 设当 A 是 n-1 阶正规 矩阵时命题成立, 现设 ?1 是 A 的一个特征值, X1 是 A 的 属于 ?1 的一个单位特征向量, 由上册P.163定理5.12可知 X1 可扩充为 Cn 的一组基, 这组基通过施密特正交化过程 可化为 Cn 的一组标准正交基 X1, X2,…, Xn, 因为 X1, X2, …, Xn 为 Cn 的一组基, 所以存在 n 维向量 Y2,…,Yn, 使 得 AX2 = (X1, X2,…, Xn)Y2,…, AXn = (X1, X2,…, Xn)Yn, 记 (X1, X2,…, Xn) 为 U1, (?1e1, Y2,?, Yn) 为 B, 则 AU1 = 而 AX1 = ?1X1 = (X1, X2,…, Xn)?1e1, (AX1, AX2,…, AXn) = (X1, X2,?, Xn)(?1e1, Y2,…, Yn) = U1 (?1e1, Y2,…, Yn) = U1B. U1 是酉矩阵, 且 U1-1AU1 = B.