正规子群与Lagrange定理.ppt

生成的子群举例2 Z12,+12 2生成的子群2 = { 0,2,4,6,8,10 } 3生成的子群3 = { 0,3,6,9 } Klein 四元群 e={e},a={a,e}, b={b,e},c={c,e} 生成的子群举例3 Z12,+12 B={2,3}生成的子群B = Z12 Klein 四元群G={e,a,b,c} a,b= G 子群格 设G是一个群，S={H |H?G}是G的所有子群的集合，在S上定义关系?如下： A ? B当且仅当A是 B的子群 则S, ? 构成偏序集，称为群G的子群格。 陪集 定义10.6 : G 为群，H≤G, a∈G, 右陪集 Ha = { ha | h∈H } Ha 中的a 称为该陪集的代表元素 类似地，有左陪集aH = {ah | h∈H } 陪集实例 Z12,+12 3={0,3,6,9}的右陪集分别是3+1={1,4,7,10},3+2={2,5,8,11},3 Klein 四元群G={e,a,b,c} 子群H={e,a}的右陪集分别是He=Ha=H, Hb=Hc={b,c}。 右陪集举例 集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于映射复合构成群S3={f1, f2, f3, f4, f5, f6}，H={f1, f2} f1={1,1,2,2,3,3 f2={1,2,2,1,3,3} f3={1,3,2,2,3,1} f4={1,1,2,3,3,2} f5={1,2,2,3,3,1} f6={1,3,3,2,2,1} 左陪集举例2 集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于映射复合构成群S3={f1, f2, f3, f4, f5, f6}，H={f1, f2} f1={1,1,2,2,3,3} f2={1,2,2,1,3,3} f3={1,3,2,2,3,1} f4={1,1,2,3,3,2} f5={1,2,2,3,3,1} f6={1,3,3,2,2,1} 比较 集合A={1,2,3}上所有的双射函数关于映射复合构成群S3={f1, f2, f3, f4, f5, f6}，H={f1, f2} H 在G 中的指数[G:H] aH 和Ha未必相等 H 的左陪集和右陪集数相等 f: T→S, f(Ha)=a?1H, (T, S 分别为右和左陪集的集合) H 在G 中的指数[G:H] 即H 在G 中的右（或者左）陪集数 陪集的性质 定理10.7-9: G 为群，H 是G 的子群，则 (1) He=H； (2) a∈Ha； (3) Ha≈H； (4) a∈Hb ? ab?1∈H ? Ha=Hb (5) 在G 上定义二元关系R, aRb?ab?1∈H，则R 为等价关系，且[a]R=Ha (6) a,b∈G, Ha∩Hb=? 或Ha=Hb，且∪Ha=G 正规子群 正规子群：H≤G,，且?a∈G，aH=Ha. 记为H?G. 平凡子群{e}及G都是G的正规子群 正规子群的判定 判定定理： N≤G, 则下述条件等价 (1) N 是G 的正规子群 (2) ?g∈G, gNg?1 = N (3) ?g∈G, ?n∈N, gng?1∈N 判定定理 证：(1) ?(2): gN = Ng ? gNg?1 = N (2) ?(3): gng ?1 ∈gNg ?1 = N (3)?(1): ng∈Ng?n∈N,g ?1 ∈G?g ?1 ng∈N ?ng∈gN gn∈gN?n∈N,g∈G?gng ?1∈N?gn∈Ng 正规子群特例1 N是G的唯一的t 阶子群， 证明 N是G的t 阶子群，且是唯一的t 阶子群，则N是G的正规子群. 证：任取g∈G, gNg-1≤G, 且|gNg-1|=|N|，从而得到gNg-1=N(唯一)，因此N是正规的. 正规子群特例2 指数为2的子群 证明 N是G的子群，且[G:N]=2, 则N是G的正规子群. 证：任取g∈G, 若g∈N, 则gN=N=Ng；若g?N, 则gN=G-N=Ng, 因此N是正规的. Lagrange定理 Lagrange 定理： |G| = |H| [G:H] 说明：适用于有限群，逆不一定为真. H 在G 中的指数[G:H] H 在G 中的右（或者左）陪集数 Lagrange定理的引理 引理 H 的左陪集和右陪集数相等 f: T→S, f(Ha)=a?1H, T, S 分别为右和左陪集的集合 f 的良定义性与单射性： Ha=Hb ? ab?1∈H ? (a?1)?1b?1∈H ? a?1H=b?1H ? f(Ha)=f(Hb) f 的满射性： f(Ha?1)=aH, Lagrange定理 Lagrange 定理： |G| = |H| [G:H] 证明： 令G 的不同的陪集为Ha1, Ha2, …, Har, |G|