欧氏平面的拓广.ppt

* 第二章 欧氏几何平面的拓广 2.1 中心投影（透视）与理想元素 一.直线平面的中心投影： 1.两直线间的中心投影： l与 是平面内的两直线。 且 如图：l上的点A、B 与 上的点 、 对应。 称 、 是从l到 在以O为投影中心下A、B的透视点 或中心射影。OA、OB 是投影线。 自对应点：R 且 称P为l上的没影点 P在 上无中心投影。 称Q为 上的没影点 Q在l上无中心投影。 , 中心射影下的对应不是一一对应的。 反过来，点A、B 称为是从 到l的在以O为投影中心下 、 的投视点或中心投影。 2.两平面间的中心投影： 空间中两个不同的平面 、 、O点为不在这两平面上的空 间中的任意点。过O引直线交 、 于点 P 、 。 O为投影中心。P、 互为透视点。且 过O作平面 。与 相交于直线 时， 与 g 平行。则 上任意一点在 上没有透视点，如 ，则 则M为 上的没影点。直线 为 上没 影点的集合，称为 面上的没影线。 O P A B R 同样 上也有一条没影线过O作平面W与 平行交 于直线l，则l为 上的没影线。 点P的中心射影与射影心的位置有关。 无穷远点（理想点）： 在平面内对任何一组平行线引入唯一的点与之对应。记为无穷远点或理想点。 该点在该组中的每一直线上，而不在组外的直线上。 空间平行线组只有一个公共的无穷远点。 或一组平行线交于无穷远点。 二.理想元素： 1. 2.无穷远直线： 空间里一组平行平面相交于一条无穷远直线。 3.无穷远平面： 原有的平面称为有穷远平面。 平面内的一切无穷远点的集合。 空间一切无穷远点的集合。 P 、 ，在P上任取一 上，这时P 。所以P在 上的中心射影为 上的中心射影 、 相交于 ，亦即 解：如图：过a,b之交点P作一直 线l平行于平面 点O(与P不同），则以O为射影中 心将a,b射影到平面 为没影点。因为OP平行 即a, b 在 平行。 a b 例1：已知两平面 和 。a、b为 内两相交直线。试求一射影 中心将a,b射影为平面 内的二平行直线。 §2.2 射影平面 仿射直线：在欧氏直线上添加上一个无穷远点以后便得到 若在仿射直线上不区别有穷远点与无穷远点，则这条仿射直线 定义1： 一条新的直线 由于添加一个无穷远点得到的。所以射影直线是封闭的。 如果把欧氏平面圆周上一点O看作投影中心，则圆周上任一点P 在直线l上都有它的对应点，且这种对应是一一对应。 称为射影直线。（一维射影空间） 余的点对应直线l上的有穷远点，在欧氏平面上，圆可看作射影 当 时，点P的对应 点 为 上的 。而圆周上的其 直线的一个模型。 定义2：在欧氏平面上添加一条无穷远直线，称为仿射平面 （或为扩大平面）。如果在仿射平面上对有穷远元素和无穷 远元素不加以区别，则称这种仿射平面为射影平面。 （称 为二维射影空间）。 如果在射影平面内固定一条直线为无穷远直线，则 变为仿射平面。 将射影平面沿一条直线剪开，则为欧氏平面。 一条直线不能把射影平面分为两部分。 2条相交直线把它分为两部分。 3条直线把射影平面分成几部分？ §2.3 图形的射影性质 在直线上添加无穷远点后，两直线间的中心射影建立了这 两条直线上的点之间一一对应，这时l上的影消点P对应 上的无穷远点 。 通过中心射影建立的二直线上点之间的一一对应叫透视射影 对应。简称透视对应。 定义1： l上的无穷远点 的象是 上的影消点 。 同样，在平面上引入无穷远元素后，可通过中心射影建立二平面 点之间的一一对应，也称为透视对应。 定义3：图形经过中心射影不变的性质叫做图形的射影性质 定理1：中心射影保留同素性，即点对应点，直线对应直线 定理2：中心射影保持接合性。 定理3：中心射影保持圆锥曲线的对应为圆锥曲线。 注意：1.圆不具有射影性质。 2.平行性不是射影 性质。 3.简比不是中心射影的不变量。