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【领悟归纳】　本题求反函数的过程中，要注意开方时，是取“正”还是取“负”． 这种问题没有给出具体的函数解析式，只是借用抽象的函数意义，来转化其中的变量关系，往往结合恒等式或不等式转化为自变量的关系． 抽象函数问题 例4 【思路探究】　(1)令x＝y＝1再求解可得． (2)中赋值时注意应用(1)的结论． (3)用定义法确定f(x)的单调性，从而转化为关于x的不等式求解． 【思维升华】　本题是抽象函数问题，尽管题中没有给出具体的解析式，但我们仍可以通过不断地赋值去探索其特殊自变量的函数值．常用的赋值有：x＝y＝0；x＝y＝1；x＝0，y＝1；x＝y；y＝－x；….当然具体在实际操作时的赋值还要根据题设的条件进一步确定取值情况． 方法技巧 1．若两个函数的对应关系一致，并且定义域相同，则两个函数为同一函数．如课前热身2. 2．函数的三种表示方法：列表法、图象法和解析法，三者之间是可以互相转化的；求函数解析式比较常见的方法有代入法、换元法、待定系数法和解函数方程等，特别要注意将实际问题化归为函数问题，通过设自变量，写出函数的解析式并明确定义域，还应注意使用待定系数法时函数解析式的设法．如例2. 方法感悟 3．分段函数的反函数仍是分段函数，要分段来求，一般地是把各分段上的函数看作独立函数，分别求出它们的反函数，然后再拼合到一起，求得的反函数一定要标明其定义域．如例3的(3)． 失误防范 1．映射是一种特殊的集合之间的对应关系．只能是一对一，多对一，绝不是一对多． 2．用换元法求函数解析式时，一定要注明新“元”的范围，(如例2的(1)、(2))． 山东水浒书业有限公司· 优化方案系列丛书 双基研习·面对高考 考向瞭望·把脉高考 考点探究·挑战高考 第2章　函　数 山东水浒书业有限公司· 优化方案系列丛书 双基研习·面对高考 考向瞭望·把脉高考 考点探究·挑战高考 第2章　函　数 返回 §2.1　映射、函数及反函数 考点探究·挑战高考 考向瞭望·把脉高考 2.1　映射、函数及反函数 双基研习·面对高考 双基研习·面对高考 1．映射 (1)定义：设A，B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有_____的元素和它对应，那么，这样的对应(包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f)叫做集合A到集合B的_____，记作f：A→B. 基础梳理 唯一 映射 (2)象和原象：给定一个集合A到集合B的映射，且a∈A，b∈B，如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的___，元素a叫做元素b的_____． 2．函数 (1)函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的_____一个数x，在集合B中都有_____确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A，x的取值集合A叫做函数的______，函数值的集合{f(x)|x∈A}，叫做函数的_____． 象 原象 任意 唯一 定义域 值域 (2)函数的三要素 ______、_____和对应法则． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有：______、解析法、______． 定义域 值域 列表法 图象法 工艺品批发 3．反函数的定义 设式子y＝f(x)表示y是x的函数，定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，得到式子_______，如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x＝φ(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x＝φ(y)就表示x是y的函数，这样的函数，叫做函数y＝f(x)的反函数，记作x＝f－1(y)，即x＝φ(y)＝f－1(y)，一般对调x＝f－1(y)中的字母x，y把它改写成________． x＝φ(y) y＝f－1(x) 4．反函数四个引申性质 原函数 反函数 原象与象的唯一互对性 f(a)＝b?_________ f－1(b)＝a C A 单调 相同 思考感悟 1．映射f：A→B与映射f：B→A是同一个映射吗？ 提示：不一定．映射f：A→B必须满足：(1)A中元素无剩余，且A中任何元素必须有象且唯一；(2)B中元素可以有剩余，即B中元素不一定有原象；(3)若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则可构成映射f：A→B有nm个，映射f：B→A有mn个． 2．映射与函数有什么区别？ 提示：映射不一定是函数，但函数一定是某一个映射；映射的两个集合可以是任意非空集合，函数的集合一定是非空数集． 1．在映射f：A→B中，下列判断正确的是 (　　) A．A中的元素a的象可能不只一个 B．A中的两个元素a1和a2的象必不同 C．B中的元素b的原象可能不只一个 D．B中的两个不同元素b1和b2的原象可能相同 答案：C 课前热身 答案：