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* 应用泛函分析 E-mail:yangli@swust.edu.cn 主讲：杨莉 第三章 赋范空间与 Banach空间 第一节 基本性质和例子 1.1定义 设 是数域 上的线性空间，范数 是定义在 上的实值函数，且有以下性质: （三角形不等式）； （绝对齐性）； 且 带有给定范数的线性空间 称为赋范空间 （正定性）； 定义：赋范空间 中点列 称为收敛于 ，或以 为极限 ，如果 ，当 , 记作 或 定义:赋范空间 中点列 如果 , 当 时， 称为Cauchy列， 命题 收敛点列 是Cauchy列。 1.2 定义 如果赋范空间中每一Cauchy列都收敛，则称此赋范空间是完备的。完备的赋范空间称为Banach空间 Banach空间的闭线性子空间是Banach空间 定义：如果X,Y是两赋范空间，映射 如果对所有收敛于 的序列 ，有 ，则称映射A在 点连续， 如果A在X的每一点连续，则称映射A在X上连续。 1.3定理 设 是赋范空间，则 加法是连续的，即由 定义 的映射是连续的，即，当 时， 。 数乘是连续的，即由 定义的 的映射是连续的，即，当 时， 。 的 1.4定义 如果 和 是线性空间 它们称为等价的，如果它们定义相同的收敛性，即， 上的两个范数， 1.5定理 如果 是 范数等价的必要充分条件是存在正常数 使得 上的两个范数，则这两个 ， 例2 当 时， 不成为内积空间 例1 按 不成为内积空间 1.12 命题 如果 是 上的范数，则 有 1.13 定义 如果 和 是赋范空间，如果有一个从 到 上的线性的，保范的（等距的）满射 ，即是线性的满射，且 ，则称 和 （等距同构）的 是保范同构 第二节 开集与闭集 2.1 定义 设 是赋范空间， ，实数 称集合 为以 为心， 为半径的开球，也称为 球形邻域，称 为以 为心， 为半径的闭球。而集合 称为以 为半径的球面。 ， 的邻域或 为心， 2.2 定义 设 为赋范空间，集合 ，点 如果存在正数 ，使得 ，则称 为 的内点， 是点 的邻域，如果 一点是内点，即 ， 使得 ，则称 是 中的开集 ， 的每 例1 开球 是开集 集A的全体内点的集合称为A的内部或 开核，记作 或intA 是开集 2.3 开集的基本性质 和空集 是开集. 有限多个开集的交集是开集. 任意多个开集的并集是开集. 2.4 闭集的等价定义 命题: 是 的接触点，即 ，当且仅当 命题: 是 中的闭集当且仅当 的补集 是开集 由开集的基本性质用de Morgan律可得到 闭集的基本性质： 1°全空间X和空集?是闭集； 2° 是闭集 是闭集。 3° 是闭集 是闭集。 是闭集。 闭包的等价定义： 是包含A的最小闭集。 (2) (1) A的闭包 = {A的接触点的全体} (3) *