泛函分析义八.ppt

第八章 有界线性算子和连续线性泛函 §1 有界线性算子和连续线性泛函 §2 有界线性算子空间和共轭空间 算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射。算子可以说是函数和函数之间的对应。 泛函：如果Y是数域，则称这种算子为泛函。 本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数成为一个赋范线性空间。 主要内容： §1 有界线性算子和连续线性泛函 设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对于任何 D ，及数 成立 1、线性算子和线性泛函 则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，就称T为实（或复）线性泛函。 （1）设X是线性空间， 是一给定的数，对任何 ，令 2、线性算子和线性泛函的例子 显然，T是X到X中的线性算子，称为相似算子。 当 时，称为恒等算子；当 时，称为零算子。 （2）对每个 ，规定 由积分的线性性质，可知T是 到 中的线性算子。 若令 则 是 上线性泛函。 若令 T是线性算子，称为乘法算子。 （3）对每个 ，规定 由导数运算的线性性质，可知T是 到 中的线性算子，称为微分算子。 若令 ，则 是 上线性泛函。 （4）矩阵与线性算子的对应性： 设 是n维线性空间，在 中取一组基 ，则对任何 可以唯一的表示成 ，对每一个方阵 ，作 到 中算子T 如下：当 时，令 其中 。显然这样定义的T是线性算子，称为线性变换。算子由方阵 唯一确定。 3、线性算子的有界性与连续性 （1）连续性定理 设X，Y都是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果T在某一点 D(T)上连续，则T在D(T)上处处连续。 该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证T在某一点连续。又相当于下面要引进的有界性。 （2）有界线性算子 设X，Y都是赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到Y的线性算子，如果存在常数 ，是对所有 D(T)，有 则称T是D(T)到Y中的有界线性算子。 换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果算子T将其定义域中每个有界集映射成Y中的有界集，就称T是有界线性算子，简称为有界算子。不是有界的算子成为无界算子。 显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。 （3）连续性与有界性的关系 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子。 注意区别有界算子与有界函数。 4、算子的范数 T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线 性算子，称 为算子T在D(T)上的范数。 若T为有界线性算子，则其范数是有限数，有 并非所有算子都有界。例如微分算子，P[0,1]为C[0,1]的子空间，令 ，则 ，但 ， 所以 ，T是无界算子。 §2 有界线性算子空间和共轭空间 1、有界线性B(X → Y) 算子全体所成空间 设X，Y都是赋范线性空间，B(X→Y)是X到Y的有界线性算子全体，当A，B B(X→Y), 是任意一个数时，规定 则B(X→Y)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。 定理1 设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，B(X→Y)也是巴拿赫空间。 2、连续线性泛函全体所成空间 设X是赋范线性空间，令 表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为共轭空间。 定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。 例如： 的共轭空间为 。 的共轭空间为 ，其中 定义：设X和Y是两个赋范线性空间，T 是X到Y中的线性算子，并且对所有 ，