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波动方程和能量
* §7-6 波动方程和波的能量 *一、一维波动方程 (wave equation) 为了从动力学角度研究波的传播规律，假设一列平面纵波沿横截面为S、密度为?的均匀直棒传播，取棒沿x轴，波函数表示为 取棒元?x，如图。两端面受到弹性力f1和f2，于是棒元的运动方程 同样x+?x处的弹力f2为 棒元所受的合力为 棒元原长为?x ，长变为 ?y ，拉伸应变为 ，取棒元无限缩小时，拉伸应变为 ，x处的拉伸应变记为 。根据胡克定律知x处的弹性力f1： 因棒元?x很小，略去上式中?x的高次项，得纵波的波动方程 横波的情形 如图棒元的剪应变为 ，无限缩小时为 ， 在 x 处受弹性力为 (G剪切模量) 在x+?x处所受弹性力 棒元所受合力 根据牛顿第二定律得 即 整理得 上式就是横波的波动方程。 因横波波速为 ，纵波波速为 ， 所以波动方程统一为 这就是波动方程的一般形式 。 二、波的能量 波源的能量随着波传播到波所到达的各处。 以平面简谐纵波为例，如图。取棒元?x ，质量为?m = ? S?x 其动能 波函数为 振动速度 棒元的动能 波传到时棒元的形变 应变弹性力为 式中k是把棒看作弹簧时棒的劲度系数。 势能为 由波函数和波速 可得 将此式代入上式，得 棒元的总机械能
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