浙江传媒学院复变函数习题课.ppt

一、重点与难点 二、内容提要 1.复数的概念 2. 复数的代数运算 4)共轭复数 3.复数的其它表示法 （2）向量表示法 模的性质 （3）三角表示法 4.复数的乘幂与方根 几何意义 2) 幂与根 (b)棣莫佛公式 5.复球面与扩充复平面 复球面的定义 (2) 扩充复平面的定义 6.曲线与区域 (3) 开集 (5) 边界点、边界 (8) 简单曲线 任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集. (10) 单连通域与多连通域 7. 复变函数的概念 (2) 映射的定义 8.复变函数的极限 极限计算的定理 极限运算法则 9.复变函数的连续性 连续的充要条件 特殊的: 三、典型例题 连续的性质 有理整函数(多项式) 有理分式函数 在复平面内使分母不为零的点也是连续的. 其几何意义是三角形任意一边的长不小于 其它两边边长之差的绝对值. * 重点： 难点： 1. 复数运算和各种表示法 2. 复变函数以及映射的概念 1. 复数方程表示曲线以及不等式表示区域 2. 映射的概念 复数 复变函数 极限 连续性 代数运算 乘幂与方根 复数表示法 几何表示法 向量表示法 三角及指数表示法 复球面 复平面扩充 曲线 与区域 判别定理 极限 的计算 1) 两复数的和 2) 两复数的积 3)两复数的商 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数. 共轭复数的性质 （1）几何表示法 复数的模(或绝对值) 三角不等式 复数的辐角 辐角的主值 利用欧拉公式 复数可以表示成 称为复数 z 的指数表示式. （4）指数表示法 利用直角坐标与极坐标的关系 复数可以表示成 1) 乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 则有 复数相乘就是把模相乘, 辐角相加. 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差. 则有 (a) n次幂: 南极、北极的定义 (1) 复球面 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数?来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的模规定为正无穷大. （1）邻域 （2）内点 如果 G 内每一点都是它的内点,那末G 称为 开集. (4) 区域 如果平面点集D满足以下两个条件, 则称它为一个区域. (a) D是一个开集； (b) D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来. 设D是复平面内的一个区域,如果点P 不属于D, 但在P 的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点. (7)有界区域和无界区域 D的所有边界点组成D的边界. (6) 区域D与它的边界一起构成闭区域. 闭区域 没有重点的曲线 C 称为简单曲线(或若尔当曲线). (9) 光滑曲线 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线. 简单闭曲线的性质 复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于B, 就称为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称为多连通域. 从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域. (1)复变函数的定义 函数极限的定义 注意: 与实变函数的极限运算法则类似. （1）连续的定义