渗流力学课件复势.ppt

3、变换前后井半径的关系 复平面z上有一口半径为Rw的井，通过变换到ζ平面上将有一口半径为ρ w的井与之对应。 x z y Rw l dn ζ ρ w ξ η λ dv 由（2）式知： 或 （3） 4、井产量变换前后不变 （4） 由（2）式： （5） 代入（4）有： （6） 表示对应井产量相等。 二、例设z平面上的单向流动复势为： 则 作变换： 则 即 三、保角变换的应用 1、直线供给边沿附近一口井 x y z a Pw，Rw x x ρ e Pw 作变换 （1） 令z=ia，得ζ=0 令z=x，由（1）式有： * 第八节 复势理论在平面渗流问题中的应用 复变函数在某区域内解析时，其实部和虚部为共轭的调和函数； 表征渗流场的势函数和流函数也具有共轭调和性质，因此可用复变函数来表征渗流场，通过对复变函数的研究来求解较复杂的渗流问题； 通过复变函数的保角变换，可把一个复杂的渗流场变为一个简单的渗流场进行处理。 一、势函数、流函数及复势 1、势函数和流函数 单相液体平面径向稳定渗流时，渗流速度为： 有 在无源区域内，因 即 （1） （2） 将（1）代入有： 渗流场中渗流速度为矢量，渗流场为有势场，则φ 称势函数或速度势。 （3） 由（3）式知，势函数满足Laplace方程。 C1为一常数，表示一条等势线。 vx v vy ds dy dx x y S 设在渗流场中有流线S，其中一点M处的切线方向，为该点流体质点运动方向。 设M点渗流速度为v，则在x、y方向的分速度为vx、vy。 在M点沿流线S取一微小增量dS，则在x、y方向的增量为dx、dy，由相似关系有： M 即 （4） （4）为流线方程。 因无源渗流场中， 即 （5） （5）式表示（4）式是某一函数的全微分，并用dΨ 表示： （6） （a） （a）为全微分的充要条件是 全微分函数 （6）式积分有： 则Ψ称为流函数， Ψ为常数时表示流线方程，给定不同的常数可得不同的流线。 由（6）式知渗流速度与流函数关系： （7） 因渗流场为有势场，其旋度 即 有 将（7）式代入有： 即流函数也满足Laplace方程。 由复变函数理论知，满足Laplace方程的函数称调和函数，因此在平面渗流场中，势函数φ（x，y）和流函数Ψ（x，y）都为调和函数，且与渗流速度的关系为： （9） （8） （9）式为柯西-黎曼（Chuchy-Rieman）条件。 证明势函数与流函数正交： 沿等势线，势函数的全微分为零，即： 则等势线上任一点处的切线斜率为： （10） 沿流线，流函数的全微分也为零： 则流线上任一点处的切线斜率为： （11） 所以等势线与流线正交，势函数与流函数为共轭调和函数。 因势函数和流函数满足C-R条件，则任知其中一个可求出另一个，从而确定渗流场。 （12） 例1、求线性渗流时势函数及流函数 由达西定律知： 则 所以： 由C-R条件 单向流势 则 为单向流流函数 例2、设已知生产井的势 求流函数。 解、 则 因 又 即 则 （13） 2、平面渗流场的复势 如复变函数w（z）在某一区域内解析，其实部和虚部存在二阶偏导数，并满足Laplace方程，即实部和虚部为共轭调和函数。 又已知渗流场的势函数和流函数为共轭调和函数，则用势函数为实部、流函数为虚部构成的复数为解析函数，且称该复数为渗流场的复势，表示为： （14） 由（14）式： 即 （15） 例、复势w（z）=az+C，求势函数、流函数及渗流速度的绝对值。 解： 习题：54、55、56、57 二、复势叠加原理 1、平面上点源和点汇的复势 生产井在坐标原点时，其势函数和流函数为： 点源的复势为： 即： （1） （1）式中，w（z）—距汇点任意处的复势； z—复平面上任意点； r—复变量z的模；θ —复变量z的幅角。 井点为点源时，复势为： 如井点在任意点A=a+ib，其复势为： （2） 势函数流函数为： z rA A θ y x （3） 2、复势叠加原理 若在渗流场中同时存在两个势流，其复势分别为： 因势函数和流函数是共轭调和函数，是齐次线性方程，满足叠加原理条件，即两个复势可合成一个新复势，新复势的势函数和流函数仍满足Laplace方程。 （4） 且 则同一渗流场中存在多个点源汇时，只需把各个点源汇单独存在时的复势进行简单的代数相加，即可得多井同时存在时的复势，称平面渗流场的复势叠加原理。 如平面上有n个点源汇，分别位于A1、A2….An,则任意点复势为： 则势函数为： 流函数为： （7） （6） （5） 三、复势理论在解决多井工作问题中