点共园问题Cliffordtheorem.ppt

  五点共圆问题 与 Clifford 链定理 一、引子 在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。 江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答。我很敬佩濠江中学的这些老师们，他们的数学功底由此可见一斑。 这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，其中每相邻的两个圆交于两个点，在所得五边形五顶点外的点共有五个，证明这五点共圆。 2003年春天，北京师范大学的张英伯教授去德国访问。代数学家 Claus Ringel 问，你知道江问题吗？张英伯正在脑子里紧张地有哪些信誉好的足球投注网站江姓数学家的名单， Claus Ringel得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！” Claus 刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。 感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。 经过一个礼拜的有哪些信誉好的足球投注网站，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一页的最后一个脚注中，提到 Clifford 定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。 有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去有哪些信誉好的足球投注网站 Clifford 所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：On Miquel’s theorem. 遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图书文献中心都没有收藏。 再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。 因为没有见到原文，下面讲的证明，基于 F. Morley 1900 年发表在美国数学会 Transaction 上的一篇文章 On the metric geometry of the plane n-line. Morley 也是英国人，几何学家。 在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了几何基础一书。 十九世纪下半叶和二十世纪初，我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域。将数学基础研究首先引入中国的是我国著名的数学家，我国近代数学教育的先驱傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔伯特的几何基础，倾其毕生精力在北京师范大学，师大附中教书，引进国外教材，培训中学教师。 正因为我国的近代数学研究起步较晚，对当时的一些研究领域比较陌生。 当几何基础引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形相关的点，直线和圆的问题被发现并研究。 1838年，Miquel 证明了有关四圆共点的定理。 一百三十六年前的1871年，在四圆共点的定理的基础上，英国数学家 William Kingdon Clifford 建立了 Clifford 链定理，并在英国早期的一本杂志《Messenger of Mathematics》第五册上发表了证明。 Clifford 本人因他提出的 Clifford 代数而闻名于数学界。 Clifford 链定理是数学史上非常著名的有趣而又奇妙的定理。 19世纪末和20世纪初，许多欧美数学家都研究并论述过这个问题，一方面研究它的多种证明方法，一方面研究这些点圆和其他一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在欧美的许多深受欢迎的数学杂志上，不断地发表与 Clifford 链定理相关的研究成果。 二、Clifford 链定理的表述 n=4 任选平面内两两相交， 且任意三条直线都不共点的四条直线， 则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆， 则这四个圆共点。 此点被称为 Wallace 点。 任取平面内两两相交， 且任意三条直线都不共点的五条直线， 则其中每四条作为一组可确定如上所述 的一个 Wallace 点，共有五个这样的点， 那么这五个点共圆， 此圆被称为 Miquel 圆 （即五点共圆问题）。 任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共点， 则其中每五条为一组可以确定一个Miquel 圆，共有六个这样的圆， 则这六个圆共点。 任取平面内两两相交， 且任意三条直线都不共点的七条直线， 则其