直纹次曲面.ppt

悉尼歌剧院 ? 单叶双曲面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性 定理: 单叶双曲面是直纹面. 单叶双曲面可由旋转单叶双曲面经过压缩而 得到, 而旋转单叶双曲面是直纹面, 压缩变换把 直线变成直线, 且不改变直线的共面性和平行 性, 因此有 设单叶双曲面S 的方程为 改写为 则对于任意一对不全为零的实数 s, t, 直线 都在单叶双曲面S 上. 于是, 得到S 上的两族直母线 I = { ls:t |s, t不全为零} , I ? = {ls:t? |s, t不全为零}. 7.2 单叶双曲面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性 ? 单叶双曲面的两族直母线的性质 (1) 对S上任一点M0(x0, y0, z0), 每族直母线中 各有一条经过M0 . (3) 同族的任何三条直母线都不会平行于同一 张平面, 同族的两条不同直母线一定异面. (4) 异族的直母线一定共面. (5) I 和 I ? 无公共直母线. (2) S 上的所有直母线都在 I 或 I ? 中. 7.2 单叶双曲面的直纹性 证明: (1) 设M0(x0, y0, z0) 在单叶双曲面 S 上, 则 和 不全为零. 如果 , 令 令 则 M0 在 上. 则 M0 在 上; 7.2 单叶双曲面的直纹性 如果 , 令 令 (2) 证明非常复杂, 从略. (3) 第一部分: 任取I 中三条不同的直母线 则 M0 在 上; 则 M0 在 上. 7.2 单叶双曲面的直纹性 容易算出它们的方向向量分别为 因为 7.2 单叶双曲面的直纹性 ? 0, 7.2 单叶双曲面的直纹性 因此 不会平行于同一个平面. 类似可证 I ? 中三条不同的直母线也不会平行 于同一个平面. 第二部分: 任取I 中二条不同的直母线 它们的方向向量分别为 7.2 单叶双曲面的直纹性 分别取 上的点M1, M2, 因为 7.2 单叶双曲面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性 因此 异面. 7.2 单叶双曲面的直纹性 * 上页 下页 结束 * §7 直纹二次曲面 7.1 双曲抛物面的直纹性 7.2 单叶双曲面的直纹性 例如: 平面、柱面、锥面以及旋转单叶双曲面 都是直纹面, 因为它们都可由一条直线绕另一条 直线旋转而得到. 定义: 由一族直线构成的曲面称为直纹面, 这些 直线称为它的直母线. 下面我们讨论二次曲面中的直纹面. §7 直纹二次曲面 直纹曲面模型 §7 直纹二次曲面 直纹曲面模型 §7 直纹二次曲面 (一) 椭球面 [1] 椭球面: [2] 点: (二) 双曲面 [3] 单叶双曲面: 已经知道非空二次曲面有下面这 14 种类型: [4] 双叶双曲面: §7 直纹二次曲面 (三) 抛物面 [5] 椭圆抛物面: [6] 双曲抛物面: (四) 二次锥面 [7] 二次锥面: (五) 二次柱面 [8] 椭圆柱面: §7 直纹二次曲面 [9] 一条直线: [10] 双曲柱面: [11] 一对相交平面: [12] 抛物柱面: [14] 一张平面: [13] 一对平行平面: §7 直纹二次曲面 其中所有二次柱面和二次锥面都是直纹面. 椭球面和点都是有界二次曲面, 容不下直线, 故它们都不是直纹面. 双叶双曲面不是直纹面, 因为当它由方程[4] 给 出时, 它的图像在平面z = c上方或z = ?c下方, 因此平行于xy面的直线和与xy面相交的直线 都不可能全在曲面上. 椭圆抛物面也不是直纹面, 因为当它由方程[5] 给出时, 它的图像完全在xy面上方, 因此平行于 xy面的直线和与xy面相交的直线都不可能全在 曲面上. §7 直纹二次曲面 7.1 双曲抛物面的直纹性 双曲抛物面上有直线, 这是已经知道的. 例如 xy平面的截线就是一对相交直线. 事实上有 定理: 双曲抛物面是直纹面. ? 双曲抛物面的直纹性 证明: 设双曲抛物面S 的方程为 改写为 容易看出, 对任何