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矩阵基础 泰山在线科技有限公司 矩阵基础 矩阵的秩与初等变换 矩阵的转置和逆 正交矩阵 齐次空间 几何应用 仿射变换 欧拉角 四元数 主要内容 矩阵 称为F上 矩阵, 简写: 设F是数域, 用F的元素 排成的m行n列的数表 矩阵的秩 定义 矩阵A用初等行变换化成的阶梯形矩阵中主元的个数称为矩阵A的秩，记为 秩(A) 或 。 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 (2) 秩( )≤min{ m , n } (3) 初等行变换不改变矩阵的秩。 初等矩阵 定义 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵 称为初等矩阵。 矩阵的转置 设 把矩阵 的行与列互换之后，得到的矩阵称为矩阵 的转置矩阵, 记为 或 转置有下面的性质: 矩阵的逆 定义 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵（非奇异矩阵），B称为A的逆矩阵. ① A可逆，则A的逆矩阵唯一。 性质 ④ A可逆，则 ② A可逆，则 可逆，且 ③ A，B可逆，则AB也可逆，且 . 正交矩阵 定义:设V是一个向量空间，?1, ?2, …, ?m是V的一组基，若满足： 1）?1, ?2, …, ?m两两相互正交 2）||?j|| = 1, j = 1, 2, …, m 则称?1, ?2, …, ?m是向量空间V的一组标准正交基. 正交矩阵 定义：设A是一个n阶方阵，若ATA = En则称A为一个n阶正交矩阵。 1. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。 2. A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准正交基. 3. 若A是一个正交矩阵，则|A|2 = 1 正交矩阵 定义: 设V是Rn的一个非平凡的子空间,??Rn，若在V中存在某向量?，使得? - ?与V中任何一个向量皆正交，则称?为向量?在向量空间V中的正交投影向量。 齐次空间 仿射变换 x’ y’ z’ 1 x y z 1 = P’=TP 1 0 0 tx 0 1 0 ty 0 0 1 tz 0 0 0 1 x’ y’ z’ 1 sx 0 0 0 0 sy 0 0 0 0 sz 0 0 0 0 1 x y z 1 = P’=SP 仿射变换 x’ y’ z’ 1 cosa 0 sina 0 0 1 0 0 -sina 0 cosa 0 0 0 0 1 x y z 1 = P’=RyP x’ y’ z’ 1 1 0 0 0 0 cosa -sina 0 0 sina cosa 0 0 0 0 1 x y z 1 = P’=RxP 绕Y轴旋转 绕X轴旋转 x’ y’ z’ 1 cosa -sina 0 0 sina cosa 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 x y z 1 = P’=RzP 绕Z轴旋转 仿射变换 一般仿射变换 ① 平移使旋转轴过原点 T ② 绕X轴旋转使旋转轴落到XZ平面 Rx ③ 绕 Y轴旋转使旋转轴与Z轴重合 Ry ④ 绕Z轴旋转指定角? (Rz(?)) ⑤ Ry-1 ⑥ Rx-1 ⑦ T-1 M=T-1.Rx-1. Ry-1.Rz(?).Ry.Rx.T 欧拉角 定义：用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。 欧拉角 三个欧拉角对应的齐次旋转矩阵为 欧拉角 欧拉角在应用中的缺点： 1.用欧拉角难以建立任意的朝向 2.在插值朝向时会带来问题 四元数 四元数的定义: 四元数可表示矢量和物体的旋转，并没有冗余信息，它提供了一种比旋转矩阵更为有效的方法。在计算机图形学和计算机 动面领域中表示物体的旋转和朝向方面尤为便利。 设Q是实数域上的四维向量空间，其正交基底(1，0， 0 ，0)，(0，1，0，0)，(0，0，l，0)，(0，0，0，1) 分别用e,i,j,k表示 四元数 即e作为乘法单位元，而i，j，k按i-j-k-i的次序，相邻两单位元按箭头顺 序相乘等于第三单位元，与箭头顺序反方向相乘