矩阵分析三.ppt

再解与其内积为零的方程 求得一个单位解向量 取 计算可得 令 于是有 则 矩阵 即为所求的酉矩阵. 正规矩阵 定义: 设 , 如果 满足 那么称矩阵 为一个正规矩阵. 设 , 如果 同样满足 那么称矩阵 为一个实正规矩阵. 例: (1) 为实正规矩阵 (2) 其中 是不全为零的实数, 容易验证这是一个实正规矩阵. (3) 这是一个正规矩阵. (4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵. 正规矩阵的性质与结构定理 引理 1 : 设 是一个正规矩阵, 则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵. 引理 2 : 设 是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则 必为对角矩阵. 由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理 定理 : 设 , 则 是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得 其中 是矩阵 的特征值. 推论 1 : 阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量 . 推论 2 : 正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交. 例 1 : 设 求正交矩阵 使得 为对角矩阵. 解: 先计算矩阵的特征值 其特征值为 对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 现在将 单位化并正交化, 得到两个标准正交向量 对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵 即为所求正交矩阵且有 例 2 : 设 求酉矩阵 使得 为对角矩阵. 解: 先计算矩阵的特征值 其特征值为 对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 现在将 单位化, 得到一个单位向量 对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量 对于特征值 解线性方程组 求得其一个基础解系 将其单位化得到一个单位向量 将这三个标准正交向量组成矩阵 则矩阵 即为所求酉矩阵且有 例 3 证明: (1) H-矩阵的特征值为实数; H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的. (2) 反H-矩阵的特征值为零或纯虚数. (3) 酉矩阵的特征值模长为1. 定理: 设 是正规矩阵, 则 (1) 是H-阵的充要条件是 的特征值为实数 . (2) 是反H-阵的充要条件是 的特征值的实部为零 . (3) 是U-阵的充要条件是 的特征值的模长为1 . 注意: 正规矩阵绝不仅此三类. 例 4 : 设 是一个反H-阵, 证明: 是U-阵. 证明: 根据U-阵的定义 由于 是反H-阵, 所以 , 这样 于是可得 这说明 为酉矩阵. 例 5 : 设 是一个 阶H-阵且存在自然数 使得 , 证明: . 证明: 由于 是正规矩阵, 所以存在一个酉矩阵 使得 于是可得 从而 这样 即 Hermite二次型(Hermite二次齐次多项式) Hermite矩阵的基本性质 引理: 设 , 则 (1)