离散件图的道路与连通.ppt

可达矩阵P可通过邻结矩阵A求得，方法之一是计算矩阵和： B= A + A2 +... + An-1 然后，令pi j=1当且仅当bi j 0。 例如，由前面的例子可得 B= A + A2 + A3 + A4 ? 0 0 3 3 2 ? ? 1 0 5 5 4 ? =? 0 0 1 1 2 ? ? 0 0 2 1 1 ? ? 0 0 1 2 1 ? 其中每个非0的bi j表达了vi到vj 的长度不超过4的道路数目，若 bi j =0，表明不存在从vi到vj 的非平凡道路。 v1 v2 v5 v3 v4 由矩阵B直接可导出下面的可达矩阵： ? 0 0 1 1 1 ? ? 1 0 1 1 1 ? P=? 0 0 1 1 1 ? ? 0 0 1 1 1 ? ? 0 0 1 1 1 ? 可达矩阵也可以利用Warshall算法求得。 v1 v2 v5 v3 v4 4。由可达矩阵构造图的强分图 令Q = P?PT = (qi j) n?n ，其中 ? 1 i = j qi j=? ? pi j ? pji i ? j 那么，在矩阵Q中第k行中元素1对应列的结点，构成图的一个强分图。 例：根据前面例子得到的可达矩阵，可得 ? 0 0 1 1 1 ? ? 0 1 0 0 0 ? ? 1 0 1 1 1 ? ? 0 0 0 0 0 ? P?PT = ? 0 0 1 1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? 0 0 1 1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? 0 0 1 1 1 ? ? 1 1 1 1 1 ? ? 1 0 0 0 0 ? ? 0 1 0 0 0 ? =? 0 0 1 1 1 ? ? 0 0 1 1 1 ? ? 0 0 1 1 1 ? 从第1行知道，v1单独在一个强分图中；从第2行知道，v2单独在一个强分图中；从第3、4、5行知道，v3、v4、v5共同构成一个强分图。 由此可见，该图有3个强分图，它们分别包含结点子集{v1}、{v2}、{v3，v4，v5}。可由下图验证。 v1 v2 v5 v3 v4 二、关联矩阵 1。定义：设G=(V, E)是有向简单图, 其中 V= {v1, v2, ..., vn}, E= {e1, e2, ..., em}, 定义矩阵M=(mi j) n?m如下: 1 如果ej是vi的出边 mi j= -1 如果ej是vi的入边 0 其它 称M为G的关联矩阵. 例：下面有向图对应的关联矩阵如下： e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e8 v1? -1 1 1 0 0 0 0 0 ? v2? 1 0 0 1 1 0 0 0 ? M = v3? 0 0 -1 0 0 -1