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第十七章 平面图 本章的主要内容 平面图的基本概念 欧拉公式 平面图的判断 平面图的对偶图 引言 许多实际问题可以抽象为这样的模式：在一些表示客体的结点之间“布线”、“建通道”，以建立它们之间的某些联系，要求这些“线”、“通道”在一个平面上而又不相互交叠。这正是本章要讨论的图论问题。 例如，要在三个工作点A,B,C和三个原料库L,M,N之间建立各工作点到原料库的传输线，问是否可能使这些线路互不相交？如果用结点表示工作站，用边表示传输线，那么上述问题便可描述为：K3,3是否可以在一个平面上图示出来，使图中各边除端点外均不相交？另外，印刷电路板上的布线与交通道路的设计等都是此类问题。为了深入讨论这个问题，需要引入平面图的概念。 几点说明及一些简单结论 一般所谈平面图不一定是指平面嵌入，上图中4个图都是平 面图，但讨论某些性质时，一定是指平面嵌入. 结论： (1) K5, K3,3都不是平面图（待证） (2) 设G??G，若G为平面图，则G?也是平面图（定理17.1） (3) 设G??G，若G?为非平面图，则G也是非平面图（定理17.2），由此可知，Kn(n?6)，K3,n(n?4) 都是非平面图. (4) 平行边与环不影响平面性. 平面图(平面嵌入)的面与次数 定义17.2 (1) G的面——由G的平面嵌入的边将平面化分成的区域 (2) 无限面或外部面——（可用R0表示）——面积无限的面 (3) 有限面或内部面（可用R1, R2, …, Rk等表示）——面积 有限的面 (4) 面 Ri 的边界——包围Ri的回路组 (5) 面 Ri 的次数——Ri边界的长度，用deg(Ri)表示 若平面图G有k个面，可笼统地用R1, R2, …, Rk表示，不需要指出外部面. 定义17.2(4) 中回路组是指：边界可能是初级回路(圈)，可能是简单回路，也可能是复杂回路. 特别地，还可能是非连通的回路之并. 极大平面图 定义17.3 若在简单平面图G中的任意两个不相邻的顶点之间 加一条新边所得图为非平面图，则称G为极大平面图. 注意：若简单平面图G中已无不相邻顶点，G显然是极大平 面图，如K1(平凡图), K2, K3, K4都是极大平面图. 定理17.8 设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n?m+r=2 （此公式称为欧拉公式） 证 对边数m做归纳法 m=0，G为平凡图，结论为真. 设m=k（k?1）结论为真，m=k+1时分情况讨论. (1) G中无圈，则G为树，删除一片树叶，用归纳假设. (2) 否则，在某一个圈上删除一条边，进行讨论. 平面图判定定理 17.4 平面图的对偶图 定义17.7 设G是某平面图的某个平面嵌入，构造G的对偶图 G*如下： (1) 在G的面Ri中放置G*的顶点v*i. (2) 设e为G的任意一条边. 若e在G的面 Ri与 Rj 的公共边界上，做G*的边e*与e相 交，且e*关联G*的位于Ri与Rj中的顶点v*i与v*j，即 e*=(v*i,v*j)， e*不与其它任何边相交. 若e为G中的桥且在面Ri的边界上，则e*是以Ri中G*的顶 点v*i为端点的环，即e*=(v*i,v*i). 对偶图的性质 G 的对偶图G*有以下性质： (1) G*是平面图，而且是平面嵌入. (2) G*是连通图 (3) 若边e为G中的环，则G*与e对应的边e*为桥，若e为桥，则G*中与e对应的边e*为环. (4) 在多数情况下，G*为多重图（含平行边的图）. (5) 同构的平面图（平面嵌入）的对偶图不一定是同构的. 如上面的例子. 平面图与对偶图的阶数、边数与面数之间的关系 定理17.17 设G*是连通平面图G的对偶图，n*, m*, r*和n, m, r分别为G*和G的顶点数、边数和面数，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(v*i)=deg(Ri) 证明线索 (1)、(2)平凡. (3) 应用欧拉公式. (4) 的证明中注意，桥只能在某个面的边界中，非桥边在两个面的边界上. 平面图与对偶图的阶数、边数与面数之间的关系 定理17.18 设G*是具有k（k?2）个连通分支的平面图G的对 偶图，则 (1) n*= r (2) m*=m (3) r*=n?k+1 (4) 设G*的顶点v*i位于G的面Ri中，则dG*(v*i)=deg(Ri) 其中n*, m*, r*, n, m, r同定理17.17. 证明(3) 时应同时应用欧拉公式及欧拉公式的推广. 自对偶图 定义17.8