离散数学五.ppt

第五章 一阶逻辑等值演算与推理 主要内容 一阶逻辑等值式与基本的等值式 置换规则、换名规则、代替规则 前束范式 自然推理系统NL 及其推理规则 5.1 一阶逻辑等值式与置换规则 定义5.1 设A, B是两个谓词公式, 如果A?B是永真式, 则称A 与B等值, 记作A?B, 并称A?B是等值式 基本等值式 第一组 命题逻辑中16组基本等值式的代换实例 例如，???xF(x)??xF(x), ?xF(x)??yG(y) ? ??xF(x)??yG(y) 等 第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① ?xA(x) ? A(a1)?A(a2)?…?A(an) ② ?xA(x) ? A(a1)?A(a2)?…?A(an) 基本等值式 (2) 量词否定等值式 ① ??xA(x) ? ?x?A(x) ② ??xA(x) ? ?x?A(x) (3) 量词辖域收缩与扩张等值式. A(x) 是含 x 自由出现的公式，B 中不含 x 的自由出现 关于全称量词的： ① ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ② ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ③ ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ④ ?x(B?A(x)) ? B??xA(x) 基本等值式 关于存在量词的： ① ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ② ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ③ ?x(A(x)?B) ? ?xA(x)?B ④ ?x(B?A(x)) ? B??xA(x) (4) 量词分配等值式 ① ?x(A(x)?B(x)) ? ?xA(x)??xB(x) ② ?x(A(x)?B(x)) ? ?xA(x)??xB(x) 注意：?对?，?对?无分配律 置换规则、换名规则、代替规则 1. 置换规则 设?(A)是含A的公式, 那么, 若A?B, 则?(A)??(B). 2. 换名规则 设A为一公式，将A中某量词辖域中个体变项的所有约束 出现及相应的指导变元换成该量词辖域中未曾出现过的个 体变项符号，其余部分不变，设所得公式为A?，则A??A. 3. 代替规则 设A为一公式，将A中某个个体变项的所有自由出现用A中 未曾出现过的个体变项符号代替，其余部分不变，设所得 公式为A?，则A??A. 实例 例1 将下面命题用两种形式符号化, 并证明两者等值: (1) 没有不犯错误的人 实例 (2) 不是所有的人都爱看电影 实例 例2 将公式化成等值的不含既有约束出现、又有自由出现 的个体变项: ?x(F(x,y,z)??yG(x,y,z)) 实例 例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量词: (1) ?x?y(F(x)?G(y)) 实例 实例 5.2 一阶逻辑前束范式 定义5.2 设A为一个一阶逻辑公式，若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB 则称A为前束范式，其中Qi (1? i ?k)为?或?，B为不含量词 的公式. 例如， ?x?(F(x)?G(x)) ?x?y(F(x)?(G(y)?H(x,y))) 是前束范式 而 ??x(F(x)?G(x)) ?x(F(x)??y(G(y)?H(x,y))) 不是前束范式， 前束范式存在定理 定理5.1（前束范式存在定理） 一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式 求前束范式的实例 (2) ?xF(x)???xG(x) 求前束范式的实例 5.3 一阶逻辑的推论理论 推理的形式结构 1. A1?A2???Ak ?B 若次式是永真式, 则称推理正确, 记作A1?A2???Ak ?B 2. 前提: A1, A2,?, Ak 结论: B 推理定理: 永真式的蕴涵式 推理定理 第一组 命题逻辑推理定理的代换实例 如, ?xF(x)??yG(y) ? ?xF(x) 第二组 基本等值式生成的推理定理 如, ?xF(x) ????xF(x), ???xF(x) ??xF(x) ??xF(x)??x?F(x), ?x?F(x) ? ??xF(x) 第三组 其他常用推理定律