离散数学—图论版.ppt

第8章 图论 8.1 图的基本概念 8.2 路径和回路 8.３ 图的矩阵表示 8.４ 二部图 8.5 平面图 8.6 树 8.7 有向树 8.8 运输网络 8.1 图的基本概念 定义8.1―1 一个图G是一个三重组〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)是一个非空的结点(或叫顶点)集合,E(G)是边的集合,ΦG是从边集E到结点偶对集合上的函数。一个图可以用一个图形表示。 例1设G=〈V(G),E(G),ΦG〉,其中V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4, e5,e6,e7},ΦG(e1)=(a,b),ΦG(e2)=(a,c),ΦG(e3)=(b,d), ΦG(e4)=(b,c),ΦG(e5)=(d,c),ΦG(e6)=(a,d),ΦG(e7)=(b,b)则图G可用图8.1―1表示。 定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是无序的。若边e所对应的偶对〈a,b〉是有序的,则称e是有向边。有向边简称弧,a叫弧e的始点,b叫弧e的终点,统称为e的端点。称e是关联于结点a和b的,结点a和结点b是邻接的。若边e所对应的偶对(a,b)是无序的,则称e是无向边。无向边简称棱,除无始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同。 每一条边都是有向边的图称为有向图, 第三章中的关系图都是有向图的例子。每一条边都是无向边的图称为无向图；如果在图中一些边是有向边,而另一些边是无向边,则称这个图是混合图。我们仅讨论有向图和无向图,且V(G)和E(G)限于有限集合。 约定用〈a,b〉表示有向边,(a,b)表示无向边,既表示有向边又表示无向边时用［a,b］。 有向图和无向图也可互相转化。例如,把无向图中每一条边都看作两条方向不同的有向边,这时无向图就成为有向图。又如,把有向图中每条有向边都看作无向边,就得到无向图。这个无向图习惯上叫做该有向图的底图。 在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧立结点；全由孤立结点构成的图称为零图。关联于同一结点的一条边称为自回路；自回路的方向不定。自回路的有无不使有关图论的各个定理发生重大变化,所以有许多场合都略去自回路。 在有向图中,两结点间(包括结点自身间)若同始点和同终点的边多于一条,则这几条边称为平行边。在无向图中,两结点间(包括结点自身间)若多于一条边,则称这几条边为平行边。两结点a、b间互相平行的边的条数称为边［a,b］的重数。仅有一条时重数为1,无边时重数为0。 定义8.1―2含有平行边的图称为多重图。非多重图称为线图。无自回路的线图称为简单图。 在图8.1―3中,(a)、(b)是多重图,(c)是线图,(d)是简单图,关系图都是线图。 定义 8.1―3赋权图G是一个三重组 〈V,E,g〉或四重组〈V,E,f,g〉,其中V是结点集合, E是边的集合,f是定义在V上的函数,g是定义在E上的函数。 右图给出一个赋权图。 V={v1,v2,v3} E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)} f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11 g(e1)=4.6,g(e2)=7.5 8.1.2 结点的次数 定义8.1―4在有向图中,对于任何结点v,以v为始点的边的条数称为结点v的引出次数(或出度),记为deg+(v);以v为终点的边的条数称为结点v的引入次数(或入度),记为deg-(v);结点v的引出次数和引入次数之和称为结点v的次数(或度数),记作deg(v)。在无向图中,结点v的次数是与结点v相关联的边的条数,也记为deg(v)。孤立结点的次数为零。 定理8.1―1 设G是一个(n,m)图,它的结点集合为V={v1,v2,…,vn},则 定理8.1―2在图中,次数为奇数的结点必为偶数个。 证 设次数为偶数的结点有n1个,记为 (i=1,2,…,n1)。次数为奇数的结点有n2个,记为 (i=1,2,…,n2)。由上一定理得 定义8.1―5各结点的次数均相同的图称为正则图,各结点的次数均为k时称为k―正则图。 下图所示的称为彼得森(Petersen)图,是3―正则图。 8.1.3 图的同构 定义8.1.6设G=〈V,E〉和G′=〈V′,E′〉