离散数学回路与图的连通性.ppt

* 7.2 通路、回路与图的连通性 简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路 连通图, 连通分支 弱连通图, 单向连通图, 强连通图 点割集与割点 边割集与割边(桥) * 在图中，一条通路是顶点和边的交替序列，以顶点 开始，以顶点结束。其中，第一条边的终点与第二 条边的始点重合…...。第一条边的始点称为通路的 始点，最后一条边的终点称为通路的终点。 当通路的终点和始点重合时，称为回路。 通路或回路中所含边数称为该通路或回路的长度。 一、通路和回路 * 1、简单通路：如果通路中各边都不相同。 如简单通路：v1→v2 →v5 →v6 →v2 →v3 →v4长度为6 如简单回路：v1→v2 →v3 →v5 →v2 →v6 →v1长度为6 2、简单回路：如果回路中各边都不相同。 * 3、基本通路：如果通路中各个顶点和边都不相同。 4、基本回路(圈)：如果回路中各个顶点和边都不相同。 如基本通路：v1→v6 →v3 →v4长度为3 如基本回路：v1→v6 →v3 →v2 →v1 显然，基本通路（回路）一定是简单通路（回路）。 反之不然。 * 若通路(回路)中有边重复出现, 则称为复杂通路(回路). * 关于通路与回路的几点说明 表示方法 ① 用顶点和边的交替序列(定义), 如?=v0e1v1e2…elvl ② 用边的序列, 如?=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点的序列, 如?=v0v1…vl ④ 非简单图中,可用混合表示法,如?=v0v1e2v2e5v3v4v5 环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈. * 在图G中，如果A到B存在一条通路，则称A到B是可达的。 1、无向图的连通性 如果无向图中，任意两点是可达的，图为连通图。否则为 不连通图。 当图是不连通时，定是由几个连通子图构成。称这样的连 通图是连通分支。 二、图的连通性： * 无向图的连通性 设无向图G=V,E, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={u,v| u,v ?V且u?v}是V上的等价关系 连通图: 平凡图, 任意两点都连通的图 连通分支: V关于R的等价类的导出子图 设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图? p(G)=1 若G为非连通图，则P(G) ≥2,在所有的n阶无向图中， n阶零图是连通分支最多的其分支数为n. * 设 A={1,2,…,8},  R={ x,y| x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 即:A上模3等价关系的关系图为: 上述关系图被分成三个互不连通的部分，每部 分中的数两两都有关系，不同部分的图无关系。 * 【例】 求证：若图中只有两个奇度数顶点，则二顶点必连通。 证明 用反证法来证明。 设二顶点不连通，则它们必分属两个不同的连通分支，而对于每个连通分支，作为G的子图只有一个奇度数顶点，余者均为偶度数顶点，与握手定理推论矛盾，因此，若图中只有两个奇度数顶点，则二顶点必连通。 * 【例】 在一次国际会议中，由七人组成的小组{a,b,c,d,e,f,g}中，a会英语、阿拉伯语；b会英语、西班牙语；c会汉语、俄语；d会日语、西班牙语；e会德语、汉语和法语；f会日语、俄语；g会英语、法语和德语。问：他们中间任何二人是否均可对话（必要时可通过别人翻译）？ * 解 用顶点代表人，如果二人会同一种语言，则在代表二人的顶点间连边，于是得到下图。问题归结为：在这个图中，任何两个顶点间是否都存在着通路？由于下图是一个连通图，因此，必要时通过别人翻译，他们中间任何二人均可对话。 * 定理 在n阶简单图G, 如果对G的每对顶点u和v, deg(u) + deg(v)≥ n–1, 则G是连通图。 证明 假设G不连通, 则G至少有两个分图。 设其中一个分图含有q个顶点, 而其余各分图共含有n– q个顶点。 在这两部分中各取一个顶点u和v, 则 0≤deg(u)≤q – 1, 0≤deg(v)≤n – q – 1, 因此deg(u) + deg(v)≤n – 2, 这与题设deg(u ) + deg(v)≥n – 1矛盾。 * 无向图的短程线与距离 u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞. 性质： d(u,v)?0, 且d(u,v)=0 ? u=v d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)