离散数学图的连通性.ppt

6.2 图的连通性 6.2.1 通路与回路 初级通路(回路)与简单通路(回路) 6.2.2 无向图的连通性与连通度 连通图、连通分支 短程线与距离 点割集、割点、边割集、割边(桥) 点连通度与边连通度 6.2 图的连通性(续) 6.2.3 有向图的连通性及其分类 可达性 弱连通、单向连通、强连通 短程线与距离 通路与回路 定义6.13 给定图G=V,E(无向或有向的), G中顶点与边 的交替序列?=v0e1v1e2…elvl. 若?i(1?i?l), ei=(vi?1,vi)(对于有向图, ei=vi?1,vi), 则称?为 v0到vl的通路, v0和vl分别为通路的起点和终点, l为通路的 长度. 又若v0=vl, 则称?为回路. 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异, 则称为 初级通路或路径(初级回路或圈). 长度为奇数的圈称作奇 圈,长度为偶数的圈称作偶圈 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路) 说明 (1) 表示方法 ① 按定义用顶点和边的交替序列, ?=v0e1v1e2…elvl ② 用边序列, ?=e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点序列, ?=v0v1…vl (2) 在无向图中, 长度为1的圈由环构成.长度为2的圈由两 条平行边构成. 在无向简单图中, 所有圈的长度?3. 在有向图中, 长度为1的圈由环构成. 在有向简单图中, 所 有圈的长度?2. 说明(续) (3) 初级通路(回路)是简单通路(回路), 但反之不真 通路与回路(续) 定理6.3 在n阶图中, 若从顶点u到v(u?v)存在通路, 则从u 到v存在长度小于等于n?1的初级通路. 证 若通路中没有相同的顶点(即初级通路), 长度必? n?1. 若有相同的顶点, 删去这两个顶点之间的这一段, 仍是u到 v的通路. 重复进行, 直到没有相同的顶点为止. 定理6.4 在n阶图中, 若存在v到自身的简单回路, 则一定存 在v到自身长度小于等于n的初级回路. 无向图的连通性与连通分支 设无向图G=V,E, u,v?V u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总是连通的. 连通图: 任意两点都连通的图. 平凡图是连通图 连通关系 R={u,v| u,v ?V且u与v连通}. R是等价关系 连通分支: V关于R的等价类的导出子图 设V/R={V1,V2,…,Vk}, G的连通分支为G[V1],G[V2],…,G[Vk] 连通分支数p(G)=k G是连通图? p(G)=1 短程线与距离 u与v之间的短程线:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通) u与v之间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞. 性质： (1) d(u,v)?0, 且d(u,v)=0 ? u=v (2) d(u,v)=d(v,u) (3) d(u,v)+d(v,w)?d(u,w) 点割集与边割集 设无向图G=V,E, v?V, e?E, V??V, E??E. 记 G?v: 从G中删除v及关联的边 G?V?: 从G中删除V?中所有的顶点及关联的边 G?e : 从G中删除e G?E?: 从G中删除E?中所有边 定义6.15 设无向图G=V,E, V??V, 若p(G?V?)p(G)且 ?V???V?, p(G?V??)=p(G), 则称V?为G的点割集. 若{v}为点割 集, 则称v为割点. 设E??E, 若p(G?E?)p(G)且?E???E?, p(G?E??)=p(G), 则称E? 为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥. 实例 点连通度与边连通度 定义6.16 设无向连通图G=V,E, ?(G)=min{|V?| | V?是G的点割集或使G-V?成为平凡图} 称为G的点连通度 ?(G)=min{|E?| | E?是G的边割集} 称为G的边连通度 点连通度与边连通度(续) 说明: (1) 若G是平凡图, 则?(G)=0, ?(G)=0. (2) 若G是完全图Kn, 则?(G)=n-1, ?(G)= n-1 (3) 若G中存在割点, 则?(G)=1;若G中存在割边, 则?(G)= 1 (4) 规定非连通图的点连通度和边连通度均为0 定理6.5 对任何无向图G, 有 ?(G) ? ?(G) ??(G) 有向图的连通性及其分类 设有向图D=V,E, u,v?V, u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. u与v相互可达: u可达v且v可达u D弱连通(连通): 略去各边的方向所得无向图为连通图 D单向连通: ?u,v?V，u可