离散数学图论基本概念.ppt

第五部分 图论 第十四章 图的基本概念 主要内容 图 通路与回路 图的连通性 图的矩阵表示 图的运算 预备知识 多重集合——元素可以重复出现的集合 无序集——A?B={(x,y) | x?A?y?B} 14.1 图 定义14.1 无向图G = V,E, 其中 (1) V ? ?为顶点集，元素称为顶点 (2) E为V?V 的多重集，其元素称为无向边，简称边 实例 设 V = {v1, v2, …,v5}, E = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = V,E为一无向图 有向图 定义14.2 有向图D=V,E, 只需注意E是V?V 的多重子集 图2表示的是一个有向图，试写出它的V 和 E 注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下 是一一对应的 相关概念 1. 图 ① 可用G泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n阶图 2. 有限图 3. n 阶零图与平凡图 4. 空图——? 5. 用 ek 表示无向边或有向边 6. 顶点与边的关联关系 ① 关联、关联次数 ② 环 ③ 孤立点 7. 顶点之间的相邻与邻接关系 多重图与简单图 定义14.3 (1) 无向图中的平行边及重数 (2) 有向图中的平行边及重数（注意方向性） (3) 多重图 (4) 简单图 在定义14.3中定义的简单图是极其重要的概念 顶点的度数 定义14.4 (1) 设G=V,E为无向图, ?v?V, d(v)——v的度数, 简称度 (2) 设D=V,E为有向图, ?v?V, d+(v)——v的出度 d?(v)——v的入度 d(v)——v的度或度数 (3) ?(G), ?(G) (4) ?+(D), ?+(D), ??(D), ??(D), ?(D), ?(D) (5) 奇顶点度与偶度顶点 握手定理推论 推论 任何图 (无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数. 证 设G=V,E为任意图，令 V1={v | v?V? d(v)为奇数} V2={v | v?V? d(v)为偶数} 则V1?V2=V, V1?V2=?，由握手定理可知 由于2m, 均为偶数，所以 为偶数，但因为V1中 顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数. 图的度数列 1 . V={v1, v2, …, vn}为无向图G的顶点集，称d(v1), d(v2), …, d(vn)为G的度数列 2. V={v1, v2, …, vn}为有向图D的顶点集， D的度数列：d(v1), d(v2), …, d(vn) D的出度列：d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D的入度列：d?(v1), d?(v2), …, d?(vn) 3. 非负整数列d=(d1, d2, …, dn)是可图化的，是可简单图化的. 易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的，后者又是可 简单图化的，而(2, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 都不是可简单图化 的，特别是后者也不是可图化的 图的同构 定义14.5 设G1=V1,E1, G2=V2,E2为两个无向图(两个有向 图)，若存在双射函数f:V1?V2, 对于vi,vj?V1, (vi,vj)?E1 当且仅当 (f(vi),f(vj))?E2 （vi,vj?E1 当且仅当 f(vi),f(vj)?E2 ) 并且, (vi,vj)（vi,vj）与 (f(vi),f(vj))（f(vi),f(vj)）的重数相 同，则称G1与G2是同构的，记作G1?G2. 图同构的实例 图中(1)与(2)的度数列相同，它们同构吗？为什么？ n 阶完全图与竞赛图 定义14.6 (1) n (n?1) 阶无向完全图——每个顶点与其余顶点均相邻的无向简单图，记作 Kn. 简单性质：边数 (2) n (n?1)阶有向完全图——每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的有向简单图. 简单性质： (3) n (n?1) 阶竞赛图——基图为Kn的有向简单图. 简单性质：边数 n 阶 k 正则图 (1)为K5，(2)为3阶有向完全图，(3)为4阶竞赛图.