积分的概念和柯西古萨定理.ppt

积分的定义 设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线. 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 则将C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线. 设曲线C的两个端点为A与B, 如果将A到B的方向作为C的正方向, 则从B到A的方向就是C的负方向, 并记作C-. 常将两个端点中一个作为起点, 另一个作为终点, 则正方向规定为起点至终点的方向. 而简单闭曲线的正方向是指当曲线上的点P顺此方向沿该曲线前进时, 邻近P点的曲线内部始终位于P点的左方. 定义 设函数w=f(z)定义在区域D内, C为在区域D内起点为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 把曲线C任意分成n个弧段, 设分点为 A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B 在每个弧段zk-1,zk(k=1,2,...,n)上任意取一点?k, 并作和式 容易看出, 当C是x轴上的区间a?x?b, 而f(z)=u(x)时, 这个积分定义就是一元实函数定积分的定义. 积分存在的条件及计算法 设光滑曲线C由参数方程 z=z(t)=x(t)+iy(t), a?t?b (3.1.2)给出, 正方向为参数增加的方向, 参数a及b对应于起点A及终点B, 并且z ‘(t)?0, atb.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续, 则u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数. 设ζk=ξk+iηk, 由于△zk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1) =(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=△xk+i△yk,所以, 由于u,v都是连续函数, 根据线积分的存在定理, 我们知道当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 不论对C的分法如何, 点(ξk,ηk)的取法如何, 上式右端的两个和式的极限都是存在的. 因此有 上式右端可以写成 如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲线首尾连接而成, 则我们定义 3.积分的性质 例1 计算 , 其中C为以z0为中心, r为半径的正向圆周, n为整数. [解] C的方程可写作 z=z0+reiq, 0?q?2p, dz=ireiqdq 所以 这个结果以后经常要用到, 它的特点是与积分路线圆周的中心和半径无关. 应当记住. 例2 计算 练： C为圆周|z-1|=2，证明 计算 , 其中C为以z0为中心, r为半径的正向圆周, n为整数. 练 计算 柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连通域B内处处解析, 则它在B内任何一条封闭曲线C的积分为零: 设函数f(z)在多连通域D内解析, C为D内的任意一条简单闭曲线, 将上面两等式相加, 得 (3.3.1)说明, 如果将C及C1-看成一条复合闭路G, 其正向为:沿C逆时针, 沿C1-顺时针, 则 (3.3.2)说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为闭路变形原理 定理(复合闭路定理) 设C为多连通域D内的一条简单闭曲线, C1,C2,...,Cn是在C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以C, C1, C2, ..., Cn为边界的区域全含于D. 如果f(z)在D内解析, 则 G为由C及Ck(k=1,2,...,n)所组成的复合闭路(C按顺时针, Ck按逆时针 例如 从本章§1的例2知: 当C为以z0为中心的正向圆周时, 例 计算 的值, G为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线. [解] 函数 在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的. 由于G 是包含着圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线, 因此, 它也包含这两个奇点. 在G 内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2, C1只包含奇点z=0, C2只包含奇点z=1. 则根据复合闭路定理的i), 可得 第三章 作业： It’s The End！ Thank You！ D 变形过程中不能够经过f(z)不解析的点 D C C1 C2 C3 x y O 1 G C1 C2 * * 电子工程学院 第五讲 积分的概念 积分的定义 积分存在条件和计算方法 柯西古萨基本定理 复合闭路定理 A z1 z1 z2 z2 z3 z3 ... zk-1 zk zk Dzk B x y O z0 r q z-z0=reiq z O x y 其中 1)C为原点到点3+4i的直线段. 1)C为原点到点(3,0)的线段加上从（