积分与路径无关.ppt

曲线积分与曲面积分 一、曲线积分与路径无关的定义 四、小结 * G y x o B A 如果在区域G内有 第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内 具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2) 设 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 线, 则 (根据条件(1)) 证明 (2) (3) 在D内取定点 因曲线积分 则 同理可证 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关, 有函数 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 利用格林公式 , 得 所围区域为 证毕 解: 说明: 根据定理2 , 若在某单连通域区域内 则 2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 及动点 或 则原函数为 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 例2. 验证 是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设 则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 。 。 解 例4 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域为D, 由格林公式知 在D 内作圆周 取逆时 针方向, , 对区域 应用格 记 L 和 lˉ 所围的区域为 林公式 , 得 例5. 验证 在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函 数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 或 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 * *