推理及证明.doc

第1讲　合情推理与演绎推理1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 一条规律在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误． 两个防范 (1)合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明． (2)演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性． 【例1】观察下列等式： 可以推测：13＋23＋33＋…＋n3＝________(nN*，用含有n的代数式表示)． 解析　第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，1,3,6,10,15，…第n项an与第n－1项an－1(n≥2)的差为：an－an－1＝n，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，各式相加得， an＝a1＋2＋3＋…＋n，其中a1＝1，an＝1＋2＋3＋…＋n，即an＝，a＝n2(n＋1)2. 所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论． 【训练1】 已知经过计算和验证有下列正确的不等式：＋＜2，＋＜2，＋＜2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________． 解析　观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，nR＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2.答案　若m，nR＋，则当m＋n＝20时，有＋＜2 考向二　类比推理 【例2】在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”． [审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论． 解析　三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r. (1)类比是从已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果；(2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能． 【训练2】 已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am＝a，an＝b(m＜n，m，nN*)，则am＋n＝”．现已知数列{bn}(bn＞0，nN*)为等比数列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，nN*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝________.答案　a· 考向三　演绎推理 【例3】数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(nN＋)．证明： (1)数列是等比数列； (2)Sn＋1＝4an. [审题视点] 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．大前提通常省略不写，或者写在结论后面的括号内，小前提有时也可以省略，而采取某种简明的推理模式． 证明　(1)an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.＝2·，(小前提)故是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论) (大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知＝4·(n≥2)，Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1＝4an(n≥2)，(小前提)又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论) (第(2)问的大前提是第(1)问的结