类曲线积分.ppt

* curvilinear integral 第二节 第二类曲线积分 问题的提出 第二类曲线积分的概念 第二类曲线积分的计算 第十章 曲线积分与曲面积分 小结 思考题 作业 变力沿曲线所作的功 常力沿直线所作的功 实例 一、问题的提出 对坐标的曲线积分 作与AB方向一致的单位切向量 则 从而 定义1 设L是一条有向光滑的平面曲线,起点是A, 终点是B,与 是一个连续的向量值函数, 则称积分 为 在有向曲线 上的第二类曲线积分. 即, 二、第二类曲线积分的概念 1. 定义 对坐标的曲线积分 注意: 被积表达式都定义在曲线上,即满足曲线的方程. 2. 性质 (1) 线性性质 设 是两个连续的向量值函数, 设L是一条有向光滑的平面曲线,起点是A, 终点是B, 是两个常数, 则 (2) 对弧段的可加性 设 如前所述, 则 对坐标的曲线积分 (3) 设 如前所述, 则 第二类曲线积分与 曲线的方向有关. 3. 存在条件 在光滑曲线弧L上 第二类曲线积分存在. 连续时, 对坐标的曲线积分 4. 物理意义 ⌒ ⌒ ⌒ 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 三、第二类曲线积分的计算 思想是 因此下限应是起点的坐标, 化为定积分计算. 上限是终点的 坐标. 对坐标的曲线积分 设平面曲线L的方程是 从而单位切向量 又 再设 连续, 则 1. 平面曲线 对坐标的曲线积分 设空间曲线C的方程是 从而单位切向量 又 再设 连续, 则 2. 空间曲线 对坐标的曲线积分 3. 等价形式 设空间曲线C的与C方向一致的切向量为 从而单位切向量为 又设 则 第二类曲线积分也称为对坐标的曲线积分. 对坐标的曲线积分 (1) 若L是直线x=a上的一段,则 (2) 若L是直线y=b上的一段,则 注意: 对坐标的曲线积分 例1 计算 其中L分别为: (1) 以原点为中心,1为半径的圆弧第一象限部分, 从A(1,0)到B(0.1); (2) 从A(1,0)到B(0,1)的直线段; (3) 有向折线段AOB. x O A B y 结论:虽然被积函数,起点终点都相同, 但积分路径不同,从而积分值不同. 对坐标的曲线积分 例2 计算 其中L分别为: (1) 抛物线 上从原点到B(1,2)的一段; (2) 直线段OB: (3) 任意以O为起点,B为终点的光滑曲线. 结论:被积函数,起点终点都相同, 虽然积分路径不同,但积分值相同. 对坐标的曲线积分 例3 计算 其中 是球面 与圆柱面 的交线,它在xy平面上的投影曲线为逆时针方向. 对坐标的曲线积分 解: 柱面: 令 则 即 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分 设A对应 例4 设点 M(x,y,z) 的向径 一单位正电荷沿光滑曲线Γ: 解 即 根据库伦定律, 位于原点(0,0,0)处的电荷q产生的静电场中, 求电场所作的功W. 从点A移到点B, B对应 的电场力 位于点M处的单位正电荷受到 对坐标的曲线积分 ⌒ 因此所求的功为 其中 分别是点A和B到原点的距离. 对坐标的曲线积分 此例表明,静电场电场力作功只与正电荷运动的起点和终点的位置有关,而与运动的路径无关.凡是具有这种特性的力场,称保守力场. 例5. 计算曲线积分 其中L为椭圆: 取逆时针方向. 对坐标的曲线积分 第二类曲线积分的概念 第二类曲线积分的计算 对坐标的曲线积分 四、小结 思想:化为定积分计算 对坐标曲线积分的物理意义 变力沿曲线所作的功 关于曲线方向的性质 注意: 第二类曲面积分的性质 作 业 习题9.2 (177页) (A) 2.(2)(4) 3.(4) 4. 对坐标的曲线积分 补充: 计算 其中 Г的方向是从坐标原点看去为顺时针方向. * *