粒子流密度和粒子数守恒定律定态薛定谔方程.ppt

§2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律 一、概率分布随时间的变化及连续性方程 二、粒子数、质量、电荷守恒定律 三、波函数的标准条件 四、波函数一般是复数 §2-4 粒子流密度和粒子数守恒定律 一、概率分布随时间的变化及连续性方程 1．概率分布随时间的变化 因为总概率（或粒子数）守恒，所以如果有的区域粒子数增加，必然有的区域粒子数减少，说明有一定数目的粒子从一个区域转移到了另一区域。寻求一个概率流密度矢量来表示单位时间内穿过单位面积的概率（概率流动），则会使图象更明确。 2．概率分布的连续性方程 假设 已归一化 描写态， 描写概率分布（概率云）。假设有很大数目的N个相同的但独立的粒子，同处于 态，则 表示粒子数在空间的分布。 不断随t变化，分布 及 也不断变化，求解薛定谔方程即可得到它们的变化规律。 令 得概率分布的连续性方程 讨论： （1）把连续性方程两边对空间任意一个体积求积分，得 上式左边是粒子在体积 内的概率随时间的变化率，右边代表单位时间内流进或流出该体积的概率。正因为如此， 称为概率流密度矢量。 （2）如果波函数在无穷远处为零，将积分区域扩展到整个空间，则 即在整个空间内找到粒子的概率与时间无关，总概率守恒。 二、粒子数、质量、电荷守恒定律 粒子数密度 粒子流密度 粒子数守恒定律 即单位时间内体积 内粒子数的改变等于穿过 的边界面 流出或流入的粒子数。 同理： 质量守恒定律 电荷守恒定律 三、波函数的标准条件 描写体系的物理状态，它必须满足一定的条件，解薛定谔方程时一定要选满足标准条件的解。 1．单值性 因概率密度 、概率流密度矢量 有唯一确定的值，所以 是 和 的单值函数。 2．有限性 3．连续性 概率密度的连续性要求波函数是连续的，而概率流密度的连续性则要求波函数的一阶导数是连续的。 简而言之，波函数应该是单值、有限和连续的。这就是波函数应满足的标准条件。 概率密度 不会无穷大，所以 也是有限的。 y 四、波函数一般是复数 1．薛定谔方程中一边含有虚数，要求波函数不可能是纯实数或虚数。 设 ，u和v为二实量，代入薛定谔方程中，得 等号两边的实部、虚部分别相等，则 u、v彼此相联，不论哪一个都不是薛定谔方程的解，只有复数才是解。 2．概率流密度要求波函数也不可能是纯实量或虚量。 如果u、v有一个恒为0，则 ，不能描写体系的运动，故波函数一般应为复数。 注：但定态时波函数为实数，描写驻波是可以的。 §2-5 定态薛定谔方程 一、不含时薛定谔方程 二、能量本征值和能量本征值方程 三、定态及其特点 四、含时薛定谔方程的一般解 §2-5 定态薛定谔方程 一、不含时薛定谔方程 当 时，薛定谔方程存在可以分离变量的特解 代入薛定谔方程，得 因此 定态薛定谔方程 二、能量本征值和能量本征值方程 从数学上来说，对于任何E值，定态薛定格方程都有解。但并非对于一切E值所得出的解都满足物理上的要求。这些要求中，有根据波函数的统计解释而提出的要求（如单值、有限、连续），也有根据体系的具体物理情况提出的要求（如束缚态时无穷远处波函数为零），只有某些E值所对应的解，才满足物理上的要求。这些E值称为体系的能量本征值，相应的波函数称为能量本征函数，定态薛定谔方程称为体系的能量本征值方程。 上式中 是能量算符，称为哈密顿算符，记为 定态薛定格方程简写为 一个算符作用在一个函数上等于一个常量乘以该函数，这样的方程叫算符的本征值方程，该函数叫算符的本征函数，该常量叫算符的本征值。 比如，力学量 的本征值方程为 式中 的第 个本征值 对应本征值 的本征函数 如果本征值 对应 个不同的本征函数 称该本征值 i 重（度）简并。 当体系处于算符 的本征态 时， 具有确定值 。 三、定态及其特点 如果粒子初始时刻（ ）处于某一个能量本征态 满足 ,且 不显含时间，则 显然，它也满足 定态特点： （1）概率密度 不随时间改变，形成稳定分布；