线性代数五.ppt

一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　的方法 三、小结 思考题 思考题解答 * 定理1　对称矩阵的特征值为实数. 证明 于是有 两式相减，得 定理1的意义 证明 于是 证明 它们的重数依次为 　　根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 的互不相等的特征值为 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 解 例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 于是得正交阵 提示? 例2 设 ? 求An? 因为A对称? 故A可对角化? 即有可逆向量P及对角阵?? 解 从而An?P?nP?1? 于是A?P?P?1? 使P?1AP??? 因为|A??E|?(??1)(??3)? 对应?1?1? 解方程(A?E)x?0? 对应?1?3? 解方程(A?3E)x?0? 于是有可逆矩阵P?(p1? p2)? 及??diag(1? 3)? 使 P?1AP??? 从而 或A?P?P?1? An?P?nP?1 所以A的特征值为?1?1? ?2?3? 得p1?(1? 1)T? 得p2?(1? ?1)T? 提示? 例2 设 ? 求An? 解 因为|A??E|?(??1)(??3)? 对应?1?1? 解方程(A?E)x?0? 对应?1?3? 解方程(A?3E)x?0? P?1AP??? 从而 或A?P?P?1? An?P?nP?1 所以A的特征值为?1?1? ?2?3? 得p1?(1? 1)T? 得p2?(1? ?1)T? 于是有可逆矩阵P?(p1? p2)? 及??diag(1? 3)? 使 解 先求特征值，A 的特征多项式为 A 的特征值为 再求特征向量 首页 上页 下页 返回 结束 即 首页 上页 下页 返回 结束 即 首页 上页 下页 返回 结束 令 则 X 可逆，且有 因为 3 阶矩阵 A 找到了3个线性无关的特征向量, 所以方阵 A 相似于对角矩阵. 首页 上页 下页 返回 结束 于是 先来X的逆矩阵 得 首页 上页 下页 返回 结束 又因为 所以 首页 上页 下页 返回 结束