线性代数四四.ppt

方程组有解的条件与解法 主要内容 齐次线性方程组 非齐次线性方程组 第四节 线性方程组的解的结构 在上一章中, 我们已经介绍了用矩阵的初等 变换解线性方程组的方法, 并建立了两个重要定 理, 即 一、方程组有解的条件与解法 (1) n 个未知量的齐次线性方程组 Ax = 0 有 非零解的充要条件是系数矩阵的秩 R(A) n . (2) n 个未知量的非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B 的秩, 且当 R(A) = R(B) = n 时方程组有唯 一解, 当 R(A) = R(B) = r n 时方程组有无穷多 解. 下面我们用向量组线性相关的理论来讨论线 性方程组的解. 二、齐次线性方程组 1. 基础解系 (1) 解向量 设有齐次线性方程组 记 则 (1) 式可写成向量方程 Ax = 0. (2) 若 x1 = ?11 , x2 = ?21 , ··· , xn = ?n1 为 (1) 的解, 则 称为方程组 (1) 的解向量, 它也就是向量方程 (2) 的解. (2) 解向量的性质 性质 1 若 x = ?1 , x = ?2 为 (2) 的解, 则 x = ?1 + ?2 也是 (2) 的解. 证 只要验证 x = ?1 + ?2 满足方程 (2) : A( ?1 + ?2) = A?1 + A?2 = 0 + 0 = 0. 性质 2 若 x = ?1 为 (2) 的解, k 为实数, 则 x = k?1 也是 (2) 的解. 证 A( k?1) = k(A?1) = k 0 = 0. 把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作 S , 如果能求得解集 S 的一个最大无关组 S0 : ?1 , ?2 , ···, ?t，那么方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关 组 S0 线性表示； 另一方面，由上述性质 1、2 可 知，最大无关组 S0 的任何线性组合 x = k1?1 + k2 ?2 + ··· + kt?t 都是方程 Ax = 0 的解，因此上式便是方程 Ax = 0 的通解. 齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该 齐次线性方程组的基础解系. 由上面的讨论可 知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它 的基础解系. 上一章我们用初等变换的方法求线性方程 组的通解，下面我们用同一方法来求齐次线性 方程组的基础解系. 2. 基础解系的求法 设系数矩阵 A 的秩为 r , 并不妨设 A 的前 r 个 列向量线性无关, 于是 A 的行最简形矩阵为 与 B 对应, 即有方程组 把 xr+1 , ··· , xn 作为自由未知量，并令它们依次 等于 c1 , ··· , cn-r ，可得方程组 (1) 的通解 把上式记作 x = c1?1 + c2 ?2 + ··· + cn-r ?n-r , 可知解集 S 中的任一向量 x 能由 ?1 , ?2 , ··· , ? n-r线 性表示，又因为矩阵 (?1 , ?2 , ··· , ?n-r ) 中有 n – r 阶子式 | En – r | ? 0 故 R(?1 , ?2 , ··· , ?n-r ) = n – r , 所以 ?1 , ?2 , ··· , ?n-r线性无关. 根据最大无关组 的等价定义，即知 ?1 , ?2 , ··· , ?n-r是解集 S 的最 大无关组，即 ?1 , ?2 , ··· , ?n-r是方程组 (1) 的基 础解系. 在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程 组的通解，再从通解求得基础解系. 其实我们也 可先求基础解系，再写出通解. 这只需在得到方 程组 以后，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , ··· , xn 取下列 n – r 组数： 由 (3) 即依次可得 从而求得 (3) 也就是 (1) 的 n – r 个解： 依据以上的讨论，还可推得 定理 7 设 m×n 矩阵 A 的秩 R(A) = r , 则 RS = n – r . n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩 当 R( A ) = n 时,方程组 ( 1 ) 只有零解,因为没 有基础解系 (此时解空间 S 只含一个零向量, 为 0 维向量空间 ). 而当R( A ) = r n 时,方程组 ( 1 )必 有含 n – r 个向量的基础解系. 因此，由最大无 关组的性质可知，方程组 (1) 的任何 n – r 个线 性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知 齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的 通解的形式也不