线性系统的根轨迹法《自动控制原理》课件.ppt

第四章 线性系统的根轨迹法 4-1 根轨迹法的基本概念 先通过一个简单的例子, 了解一下根轨迹的本质是什么. (2) 当0K=0.25时, 一个根的绝对值随K的增大而增大, 另 一个根的绝对值随K的增大而减小, 两根的变化轨迹如下图所示: 由例可见, 代数方程的根随方程中某一个参数的变化而在根 平面上的轨迹可用图形表示出来. 由于上例中代数方程简单, 是 二阶的, 其两个根关于参变量K的表达式可求, 且简单, 故画 图也方便. 当代数方程为高阶时, 画图就没那么方便. 但从上例 中至少可得到根轨迹图的以下几个特点: (1) 因例中代数方程为二阶, 所以根轨迹图中有两条根轨 迹分支; 实际控制系统往往是高阶的, 即其闭环特征方程是S的高阶 代数方程. 当系统中某环节的某个参数发生变化, 或为改善系统 的控制性能而改变系统中某环节的某个参数时, 系统的闭环极点 也即闭环特征方程的根也发生相应的变化. 而闭环系统的控制性 能与闭环极点在极点平面上的位置有密切的联系. 这就需要事先 从理论上分析闭环极点随某个参数变化时在极点平面上的变化趋 势从而得出某个参数的变化对系统性能的影响程度, 作出理论上 的指导. 而上例的方法正好可引入到对控制系统的分析和设计上 来. 1. 根轨迹定义 定义: 当系统中某个(或几个)参数从0到+∞连续变化 时, 系 统闭环特征方程的根(即闭环极点)在根平面(S平面)上连续移动而 形成的轨迹. 称为系统的根轨迹. 2. 根轨迹方程 闭环控制系统的一般结构图如下所示: 式(1)中: 阶数. 式(3)中: 式(3)叫根轨迹方程, 此方程又可分为下面两个方程: 如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 将会非常不方 便. 人们利用前面介绍的几个式子, 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 叫概略根 轨迹, 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了. 4-2 根轨迹绘制的基本法则 本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 但对法则 不予推导和证明. 需指出的是, 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量. 例: 某闭环系统的开环传递函数为: 上例中: 将上述开环零点和极点尽可能准确标在S复平面上, 习惯上用叉 号标记开环极点, 用小圆圈标记开环零点, 如下图: 法则1 根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,对应于 K’=0,终止于开环零点,对应于K’= +∞. 注意: 当n m时,有n-m条根轨迹的终点隐藏于S平面上的无 穷远处;当nm时,有m -n条根轨迹的起点隐藏于S平面上的无穷 远处;考虑到无穷远处的开环零点和极点,则开环零点和极点的个 数相等.无穷远处的开环零点和极点也叫无限零点和极点. 法则2 根轨迹的分支数和对称性:根轨迹的分支数与开环有 限零点个数m和有限极点个数n中的大者相等. 它们是连续的并与 实轴成镜像对称. 法则3 实轴上的根轨迹:实轴上的某一区段,若其右边开环 实数零点个数和实数极点个数之和为奇数,该区段必是条完整的 根轨迹分支或是某条根轨迹分支的一部分. 法则3的应用见下图: 法则4 根轨迹的渐近线:当开环有限极点个数n大于开环有 且: 渐近线见下图: 法则5 根轨迹的分离点:两条或两条以上的根轨迹分支在S 对上式整理得: 用手工解十次代数方程相当麻烦. 但在实轴上的分离点有以下两 个特点: (1) 实轴上两个相邻的极点或两个相邻的零点之间的区段如 是根轨迹, 则其上必有一个分离点. 这两个相邻的极点或两个相 邻的零点中有一个可以是无限极点或零点. (2) 实轴上某区段是根轨迹的话, 如这区段的两个端点一个是 极点, 而另一个是零点, 则此区段上要么没有分离点, 如有, 则不 止一个. 利用以上两个特点可初步判断实轴上那些区段上有分离点, 然后用试探法求近似的分离点值, 求出一个后, 对整理后的方程 可降一阶. 法则6