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第五章 三维旋转群SO(3) 本章将讨论物理上常用的一种李群三维旋转群 SO(3). 旋转群在物理学的应用中占有十分重要的地位. 它不仅是描述物理系统在普通坐标空间中各向同性的 对称群，也是处理物理系统内部对称性的有用工具. 本章我们将介绍三维旋转群SO(3)的基本知识. §5.1 三维旋转群SO(3) SO(3)群是三参数 的李群，在§4.5节 例3中，我们曾求得SO(3)群的群元素. 在那里，三个 群参数选为坐标系绕三个坐标轴的三个转角 、 、 . 在实际应用中，人们通常取三个欧勒角 作 为SO(3)群的群参数. 这一节，我们将导出该情况下， SO(3)群的群元素的具体形式. 采用欧勒角描述SO(3)群的转动时，其转动方 式如下： (1) 先将坐标系绕z轴转 角，这时矢量 变 为 ，其矩阵形式为： 其中 (2) 接着绕新坐标系的 轴转 角，变矢量 为 ，其矩阵形式为： 显然 这样绕新坐标系 轴的转动，变成绕原坐标系坐 标轴的转动，其中 将(1)与(3)代入(2)得 与 的变换关系 (3) 最后绕 轴转 角，变矢量 为 , 其矩阵形式为 而 将(4)与(6)代入(5)式得 与 之间的变换关系为： 其中 亦即 这就是用三个欧勒角 、 、 表示的SO(3)群的 群元素的表达式. 其中 与 是绕子z轴的转角， 是球坐标系中的方位角，它们处在范围 , . 为绕y轴的转角，是球坐标系中的 极角，处在范围 . 在上式中取 ，得： 因此，单位元不仅处在零参数 处，亦处 在 与 处，所以三个欧勒角不是正则参 数. §5.2 SO(3)群与SU(2)群同态 为了求得SO(3)群的表示，我们先讨论SO(3) 群与SU(2)群的同态关系. 然后，通过研究SU(2) 群的不可约表示，来得到SO(3)群的不可约表示. 在§4.3节例3中我们曾求得SU(2)群的群元素 为： SU(2)群与SO(3)群一样也是一个三参数李群. SO(3)与SU(2)两群间存在着同态关系，具体地 说就是SO(3)群中的一个元素对应于SU(2)群中的两 个元素，下面我们来证明这一结论. 设三维空间矢量 的分量为 . 它与 泡利矩阵的点积为： 上式表明：M是一个无迹厄米矩阵, 且 取 ，并对M作相似变换 由于U是幺正矩阵，所以 . 另矩阵的迹在 相似变换下不变，所以 与 一样也是一无迹厄 米矩阵. 由于任何 无迹厄米矩阵都可由泡利 矩阵线性组合给出，所以 可以表示成 此时 由于矩阵的行列式在 相似变换下不变，所以 ，亦即 即由 所构成的相似变换(1)与正交变换一样, 不改变矢量的长度，因此每一个 应对应一 个三维空间的正交变换. 亦即，对于 对应于 下面我们给出每一个 所对应的三维空间正 交变换 的具体表达式. 将(1)、(2)与(4)代入(3)得 由上式可以确定出 与 之间的 变换关系 从而可以求得 这里的 就是三维空间中的一个正交变换矩阵，进 一步可以证明 这种证明是简单的，正交变换矩阵的行列式只能 是 , 即 要么是+1， 要么是－1. 而 的两参数空间 是不连通的. 由于当a=1, b=0时，f(a,b)=+1, 所以在整 个参数空间， . 因此 代表三维空间 的一