维杆中的应力波.ppt

第二章 一维杆中的应力波-物理问题 §2.1 物理问题 讨论一维杆中纵波的传播问题 或由(2-1)、(2-2)消去 可得 (2-6) 若对于线弹性材料,本构关系 (2-7) (2-7)(2-6) 消去 则得 同理可推出 (2-8) 一 、波动方程的解 初值问题 行波解法 特定物理问题+初值 → 定解 无限长杆的初始条件 把(2-12) (2-13)代入（2-10）： 上式对 、 各作一次积分得： 方程（2-10）的通解为： 代入（2-14）中得到原初值问题的解为： 式（2-14）（2-16）（2-17）波的传播规律的数学描述. 二 、 物理意义和初值影响区间 初始值区间，用上式求出初始时刻 和 的分布，它们分别沿着斜率为 ， 的方向形状不变的传播， 为扰动传播的速度。扰动传播沿特征线。任意时刻t， 是 和 的迭加。 2.3弹性杆中波的传播（半无限长弹性杆，不考虑反射） §2.4 Cauchy问题和Picard问题 研究对象：半无限长弹性杆。 初态：静止自然状态， 时刻在杆端 受一给定条件的撞击。 初条件可写为： 边条件： 求解 或按特征线法求解 . 如果 常数 , 常数,则 区总是恒值区,总有 , 。 混合边值问题或Picard问题 B点作左行(负向)特征线,与OA 交于D点, Aot 区域： 线 因此恒该区域中恒有 ,即恒有 右行(正向) 特征线 总交于 轴，而 轴的边条件给出,沿 ： 正向特征线 的数学表达式为 该区域中任一点 处的 ： 说明： 时刻加于杆端的扰动 以 速度在杆中传播，于t时刻到 X截面，即特征线在物理意义上表示扰动（波阵面）的传播轨迹。 类时曲线： Ot轴，经曲线上的任一点的两条特征线随时间的增加只有一条进入所讨论的区域。一条特征线上给定 ，与之相交的类时曲线上给定 或 ，则可在此两曲线为界的的区域中求得单值解.该类问题为混合问题或Picard问题. 讨论： Cauchy问题中 其解完全由初条件确定，只受杆中初始扰动的影响,不受边界扰动的影响。 Picard问题中 其解由初条件和边条件共同确定, 其解受由左行波传来的初扰动和右行波传来的边界扰动的影响。 三． 特征线及其相容关系 设二阶拟线性偏微分方程： 初始条件： 平面上的 以及 上的 ， 或 为已知， 为参量。 可由下式求出： 式中 当 时，方程有不定解。 由 得特征线方程： 当 时，两簇特征线。(1)为双曲型偏微分方程； 当 时，一簇特征线。 (1)为抛物型偏微分方程； 当 时，没有特征线。 (1)为椭圆型偏微分方程。 （若 则与线弹性杆中相同，现在讨论 常数的情况） 设应力 ，仅是应变的常值函数。（仅考虑加载段，不考虑卸载段） 2.6 强间