维射影变换.ppt

一、一维射影坐标系 定义. 在射影直线 l 上取定一个有序三点组 P*、P0、E，则称 [P*, P0, E] 为射影坐标系。直线 l 上任意一点 P 的非齐次射影坐标规定为 其中P0 叫原点，E叫单位点. 在这坐标系下， P0的非齐次射影坐标为0，E的非齐次射影坐标为1， P*没有非齐次射影坐标。 一维基本形的射影变换 如果把P*看成是无穷远点，则非齐次射影坐标就变成非齐次仿射坐标，此时 如果把P*看成是无穷远点，且P0E=1，则非齐次射影坐标就变成非齐次笛卡儿坐标，此时 x=P0P。 有了非齐次射影坐标系，就可定义齐次射影坐标系，P0的齐次射影坐标为(0,1)，E的齐次射影坐标为(1,1)，并规定P*的齐次坐标系为(1,0)。 二、一维射影变换 1、一维射影变换的定义 定义. 一个一维基本形到自身的射影对应称为一维射影变换. 即若? : [?] [?]，且[?]=[?]，则?称为一维基本形[?] 上的一个一维射影变换。 一个一维射影变换可由不超过3次透视对应得到. 一维射影变换是特殊的射影对应. 一维基本形的射影变换 定理. 在一维非齐次射影坐标系下，交比的表达式为 注记. 交比的这个表达式与它在一维非齐次笛卡儿坐标系下的表达式一样。 2、一维射影变换的代数表示 (1). 坐标表示 其中对应点的坐标是关于一维基本形[?]上的同一坐标系取得的. 一维基本形的射影变换 b. 齐次坐标表示 其中对应点的坐标是关于一维基本形[?]上的同一坐标系取得的. a. 非齐次坐标表示 定理 . 一维基本形上的一个变换为射影变换?其对应元素的参数?,? 满足一个双线性方程 即在一维基本形[?]上取定基元素A?B, 则对应元素为A+?B ? A+?B. 一维基本形的射影变换 (2). 参数表示 三、一维射影变换的分类与性质 1、一维射影变换的分类 设有射影变换 若存在 使a?02+(b+c)?0+d=0, 则称A+?0B为?的一个不变元素. 定理. 在实-复射影平面上, 任一个一维射影变换至少有一个不变元素. 非恒同的一维射影变换至多有两个相异的不变元素. 证明 在(*)中, 令?=?. 则有一维射影变换的不变元素方程 立刻可得结论. 据此可得一维射影变换的分类： 一维基本形的射影变换 2、一维射影变换的性质 (1). 双曲型、椭圆型射影变换 定理. 对于双曲、椭圆型射影变换，任一对相异的对应元素与两个不变元素的交比为定值，该定值称为双曲、椭圆型射影变换的特征不变量. 证明 设X, Y为两个不变元素, P?P为任一对相异的对应元素. 设X, Y, P, P的坐标依次为x, y, x+y, x+?y. 则这四元素的参数依次为0, ?, 1, ?. 于是 从而, 常数。 一维基本形的射影变换 (2). 抛物型射影变换 定理. 抛物型射影变换的不变元参数?与任一对相异的对应元素的参数?, ?满足 证明. 一维基本形的射影变换 要证明的式子等价于 令射影变换式为 所以是方程 的重根，因此有 因为α是自对应元的参数， 代入射影对应式得 即 于是 是常数。 例1 设A, B, C为相异的共线点且有 (A, B, C, P, Q, R) (B, C, A, Q, R, X). 求证：X=P. 证明. 因为 A B C P Q R B C A Q R X (AB, CP) = (BC, AQ) = (CA, BR) = (AB, CX) . 所以 从而有X=P. 一维基本形的射影变换 例2 设P, P与 Q, Q为点列l(P)上射影变换的两对对应点, E是不变点, V, V是过E的直线l上任意两点. PV?PV=P, QV?QV=Q. 求证：PQ?l=F为另一个不变点. 证明. 如图有 (V) (V) 所以, E, F为两个不变点. 一维基本形的射影变换 思考. 已知P, P; Q, Q为点列l(P)上双曲型射影变换?的两对相异的对应点， E为?一个不变点, 如何作?的另一个不变点F？ 例3. 设点列l(P)上射影变换?为抛物型的, E是不变点, P, P为一对相异的对应点, 且?(P)=R. 求证：(EP, PR)= –1.