网络优化最短路问题.ppt

* 网 络 优 化 Network Optimization /netopt 清华大学数学科学系 谢金星 办公室：理科楼2206# （电话 Email:jxie@ /~jxie/courses/netopt 清华大学课号第5章 最短路问题(Shortest Path Problem) 许多实际问题都可以转化为最短路问题 其有效算法经常在其它网络优化问题中作为子算法调用 S T 最短路问题的例子和意义 例5.1 （Single-level Uncapacitated Lotsizing） 某工厂生产某种产品用以满足市场需求,且已知在时段t中的市场需求为dt . 在某时段t, 如果开工生产, 则生产开工所需的生产准备费为st , 单件产品的生产费为ct .在某时段t期末, 如果有产品库存, 单件产品的库存费为ht . 假设初始库存为0, 不考虑能力限制, 工厂应如何安排生产, 可以保证按时满足生产, 且使总费用最小? （Wagner – Whitin，1958） 最短路问题的例子 - 单产品、无能力限制的批量问题 假设在时段t, 产品的生产量为xt , 期末产品的库存为It (I0 =0); 用二进制变量yt表示在时段t工厂是否进行生产准备. 假设费用均非负，则在最优解中 ，即 可以证明：一定存在满足条件 的最优解. 可以只考虑 单产品、无能力限制的批量问题 记wij为第i时段生产量为 时所导致的费用(包括生产准备费、生产费和库存费), 即 其中 网络：从所有节点i到j ( i)连一条弧, 弧上的权为wi,j-1 , 如T=4时： 1 2 3 4 5 w11 w33 w22 w44 w34 w23 w12 w13 w24 w14 例5.3 计划评审技术, 即PERT(Project Evaluation Review Technique), 又称网络计划技术或统筹法) 大型复杂工程项目(Project)往往被分成许多子项目,子项目之间有一定的先后顺序(偏序)要求, 每一子项目需要一定的时间完成. PERT网络的每条弧表示一个子项目,如果以弧长表示每一子项目需要的时间,则最早完工时间对应于网络中的最长路 (关键路线). 工程上所谓的关键路线法(CPM: Critical Path Method)基本上也是计划评审技术的一部分. 项目网络不含圈, 其最长路问题和最短路问题都是可解的. (开始) A F (结束) 5 6 6 7 4 4 5 1 3 B E D C 最短路问题 给定有向网络N，弧（i，j）对应的权又称为弧长（或费用）. 对于其中的两个顶点s，t，以s为起点和t为终点的有向路称为s-t有向路，其所经过的所有弧上的权（或弧长、费用）之和称为该有向路的权（或弧长、费用）. 所有s-t有向路中权(或弧长、费用)最小的一条称为s-t最短路. 对于有向网络中的一个圈，定义它的权为圈上所有前向弧上的权的和, 减去圈上所有反向弧上的权. 权为正的圈称为正圈; 权为负的圈称为负圈; 权为0的圈称为零圈. 对一个有向圈， 它的权就是圈上所有弧上的权的和. 本章的圈一般都是指有向圈, 我们直接将正有向圈简称为“正圈”， 负有向圈简称为“负圈”， 零有向圈简称为“零圈”, 而“无圈”指的是不存在有向圈. s t 无向网络上的最短路问题一般可以转化为有向网络上的问题. 如果所有弧上的权全为非负（或非正）数，只需将无向图的一条边代之以两条对称的有向弧即可. 如果弧上的权有负有正，一般来说问题要复杂得多。 最短路问题 – 两点说明 最长路问题可以转化为最短路问题，把弧上的费用反号即可. 必须指出：目前为止，一切最短路算法都只对不含负有向圈的网络有效. 对于含负有向圈的网络，最短路问题是NP困难的. 因此，本章中除非特别说明，一律假定网络不包含负有向圈. xij表示弧（i，j）是否位于s-t路上：当xij =1时，表示弧（i，j）位于s-t路上，当xij =0时，表示弧（i，j）不在s-t路上. 关联矩阵是全么模矩阵，因此0-1变量可以松弛为区间[0,1]中的实数 不含负圈，变量直接松弛为所有非负实数 思考：为什么xij 可以不限定为{0，1}？ 最短路问题的数学描述 5.2.1 Bellman方程 对偶问题为 根据互补松弛条件, 当x和u分别为原问题和对偶问题的最优解时: Bellman方程 当某弧(i,j)位于最短路上时， 即变量xij0时, 一定