罗朗Laurent级数.ppt

* * §4 罗朗(Laurent)级数 一 预备知识 二 双边幂级数 三 函数展开成双边幂级数 四 展开式的唯一性 由§3 知, f (z) 在 ?z - z0?R 内解析，则在该圆域 内, f (z)可展开成 z - z0的幂级数。若 f (z) 在z0点 不解析，但在圆环域 R1?z - z0?R2 内解析，那么， f (z)能否用级数表示呢？ 先看一个例子: 例如， 内 容 简 介 由此推想，若f (z) 在R 1?z - z0?R2 内解析, f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即 本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数 的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在 孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数 的基础。 一 预备知识 Cauchy 积分公式的推广到复连通域 D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 二 双边幂级数 ---含有正负幂项的级数 定义 形如 ---双边幂级数 正幂项(包括常数项)部分： 负幂项部分： 级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2 即，级数在 ?z - z0?=R2 内收敛，且和为s(z)+; 在?z - z0?=R 2外发散。 z0 R1 R2 z0 R2 R1 (2)在圆环域的边界?z - z0?=R1?z - z0?=R2上, 三 函数展开成双边幂级数 定理： 证明 由复连通域上的Cauchy 积分公式： D z0 R1 R2 r R k1 k2 D1 z 记为I1 记为I2 式(*1),(*2)中系数cn的积分分别是在k2， k1上进 行的，在D内取绕z0的简单闭曲线c，由复合闭路 定理可将cn写成统一式子： 证毕！ 级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为 洛朗级数的解析部分和主要部分。 (2)在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点 z0的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那么 　　 就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。 四 展开式的唯一性 结论 一个在某一圆环域内解析的函数展开为含 有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z) 的洛朗级数。 事实上， D z0 R1 R2 c D z0 R1 R2 c 由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可 用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方 法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有 在个别情况下，才直接采用公式(5)求Laurent系 数的方法。 例1 解 例2 解 例3 解 例4 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 解