群论Group.ppt

3-1 第三章 连续群及其表示 第三章 连续群及其表示 分立群（ 群中元素无限多但可数 ） 连续群（群中元素无穷多且不可数） ? 无限群 有限群理论对于分立群几乎全部成立 需要对有限群理论作某些修正 引入一些新概念 （本章任务） 3-2 3.1 拓扑群与李群一、连续群的概念与例子 一、连续群的概念与例子 例1、全体实数构成的加法群 {R，+} 连续群的元素通常可用一组参数 {?1, ? 2, …, ? n } 表征 ? 1, ? 2, …, ? n 均为实数； ? 1, ? 2, …, ? n中至少有一个在某区间上连续变化； 若在以上参数中有r 个是连续的，则r 称为连续群的阶（0r≤n）。 群中的元素可以用一个实参数表示： g (? )= ? ， ? ∈( -∞, ∞) 3-3 连续群的例子（续1） 例2、定义在实数域R上的全体线性映射构成的群__LM (1) 群元g (?1, ?2)：R上的一个线性映射（变换） ?x ?R， x′=g (?1, ?2 )x = ?1x +?2， ?1, ?2 ?R, ?1≠0 全体g (?1, ?2)构成二维连续群： 1）封闭性： g (?1, ?2),g (?1, ?2) ? LM (1) g (?1, ?2)g (?1, ?2) x = g (?1, ?2) (?1x+?2) = ?1(?1x +?2)+?2= ?1?1x +?1?2+?2 = ?1x +?2 = g (?1, ?2) x g (?1, ?2),g (?1, ?2) = g (?1, ?2) 3-4 连续群的例子（续2） 2）有幺元： g (1, 0 ) g (1, 0)g (?1, ? 2)x = g(1, 0) (?1x +?2 ) = ?1x +?2 = g (?1, ?2) x g (1, 0)g (?1, ? 2)= g (?1, ? 2)g (1, 0) = g (?1, ? 2) 3）有逆元： ? g (?1, ? 2) ? LM (1), g (?1, ?2) =g (1/?1, -?2/?1 ) g (?1, ?2) g (?1, ? 2) x = g (1/?1, -?2/?1 ) (?1x +?2 ) = (?1x +?2 )/?1 -?2/?1=x =g (1,0)x g (?1, ?2) g (?1, ? 2) = g(1, 0) 4）结合律（略） 3-5 连续群的例子（续3） 例3、3维实向量空间R3上的全体平移操作构成的群__TS (3) 群元g (?1,?2,?3)：对向量的平移操作 全体g (?1,?2,?3)构成三维连续群TS (3)： ?（x1, x2, x3 ) ?R3, 有 或： 1）封闭性： 3-6 连续群的例子（续4） 2）有幺元： 3）有逆元： 4）结合律（略） 3-7 连续群的例子（续5） 例4、n维向量空间Rn上的全体齐次线性变换构成的群__GL (n) X=(x1,x2,…,xn)T：Rn上的n维向量 Rn上的齐次线性变换A：X′=A X ，|A|≠0 A 的全体构成群GL(n)，此群显然与全体满秩n 阶方阵的乘法群同构。 3-8 连续群的例子（续6） 例5、定轴转动群__SO (2) g ( ? ) 的全体构成群SO (2 )。（此群将在以后详细讨论） R3上的向量： g (? ) ∈SO (2) : 绕固定轴转?角度的操作 群中的幺元：g (0) g (? )的逆元： g-1(? )= g (-? ) 3-9 连续群的例子（续7） 例6、定点转动群__SO (3) T (?, ? , ? )的全体构成群SO (3 )。（此群将在以后详细讨论） T (?, ? , ? ) ∈SO (2) : 绕过一固定点O 的任意轴转动，其中： ?，? ：决定转轴的位置 ?： 绕轴的转角 群中的幺元：T (0，0，0) T (?, ? , ? )的逆元： T -1(?, ? , ? ) = T (-?, -? , -? ) 3-10 二、拓扑群及其连通性 二、拓扑群及其连通性 由于连续群元素的连续性，需要在群中引入拓扑* 什么是拓扑？ 拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌相类似的有关学科。简单的说，拓扑是指客体的几何结构，这种结构以连续性和连通性为特征，与大小和形状无关。 有相同的拓扑 拓扑不同 3-11 1、连续群的参数空间 1、连续群的参数空间 定义4.1 设连续群G中的任一元素与r 维实内积空间的某个子集Sr 中的点有一一对应关